Cho hình hộp \(ABCD⋅{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,{A}^{'}{D}^{'},{B}^{'}{C}^{'}\) (tham khảo hình vẽ). Tỳ số thể tích giữa khối chóp \(MNP{D}^{'}\) và khối hộp \(ABCD⋅{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}\) bằng

Ta có \(:{lim}_{x→{0}^{+}}f(x)={lim}_{x→{0}^{+}}\left. {x}^{2}+x+1 \right.=1\)

\({lim}_{x→{0}^{-}}f(x)={lim}_{x→{0}^{-}}(x+2a)=2a\)\(f(0)=1\).

Suy ra hàm số liên tục tại \(x=0⇔a=\frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là A

Mở rộng:

Liên tục tại \({x}_{0}\): \({lim}_{x→{x}_{0}^{+}}f(x)={lim}_{x→{x}_{0}^{-}}f(x)= f({x}_{0}).\)

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(3⃗IA+2⃗IB-⃗IC=⃗0\).

Ta có:

\(3⃗IA+2⃗IB-⃗IC=⃗0≡≡3(⃗OA-⃗OI)+2(⃗OB-⃗OI)-(⃗OC-⃗OI)=⃗0\)帝 \(4⃗OI=3⃗OA+2⃗OB-⃗OC\)

\(≡⃛⃗OI=\frac{3}{4}⃗OA+\frac{1}{2}⃗OB-\frac{1}{4}⃗OC\)Do đó, \(I\left. -\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1 \right.\).

Mặt khác:

\(3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}=3(⃗IA-⃗IM{)}^{2}+2(⃗IB-⃗IM{)}^{2}-(⃗IC-⃗IM{)}^{2}=3I{A}^{2}+2I{B}^{2}-I{C}^{2}+4I{M}^{2}-2⃗IM(3⃗IA+2⃗IB-⃗IC)=3I{A}^{2}+2I{B}^{2}-I{C}^{2}+4I{M}^{2}-2⃗IM⋅⃗0=3I{A}^{2}+2I{B}^{2}-I{C}^{2}+4I{M}^{2}\)Để \(3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M≡I\). Vậy \(M\left. -\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1 \right.\).

Đáp án đúng là D