Gọi \(m\) là giá trị để đồ thị \(\left. {C}_{m} \right.\) của hàm số \(y=\frac{{x}^{2}+2mx+2{m}^{2}-1}{x-1}\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với \(\left. {C}_{m} \right.\) tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có :

Phương trình hoành độ giao điểm của ( \({C}_{m}\) ) với trục hoành là :

\(f(x)={x}^{2}+2mx+2{m}^{2}-1=0(x≠1)(1)\).

\(\left. {C}_{m} \right.\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

\(⇔\left\{ {Δ}^{'}>0f(1)≠0⇔\left\{ -{m}^{2}+1>02m+2{m}^{2}≠0⇔\left\{ -1<m<1m≠0 \right. \right. \right.\).

Gọi \({x}_{1},{x}_{2}\) là 2 nghiệm của phương trình (1), theo vi et ta có : \(\left\{ {x}_{1}+{x}_{2}=-2m{x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-1 \right.\)

Ta có : \({y}^{'}=\frac{{x}^{2}-2x-2{m}^{2}-2m+1}{(x-1{)}^{2}}\).

Tiếp tuyến tại hai giao điểm vuông góc với nhau

\(⇔{y}^{'}\left. {x}_{1} \right.⋅{y}^{'}\left. {x}_{2} \right.=-1⇔\left. {x}_{1}^{2}-2{x}_{1}-2{m}^{2}-2m+1 \right.\left. {x}_{2}^{2}-2{x}_{2}-2{m}^{2}-2m+1 \right.+{\left. {x}_{1}-1 \right.}^{2}{\left. {x}_{2}-1 \right.}^{2}=0⇔2{\left. {x}_{1}{x}_{2}-\left. {x}_{1}+{x}_{2} \right.+1 \right.}^{2}-\left. 2{m}^{2}+2m \right.\left. {\left. {x}_{1}+{x}_{2} \right.}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}-2\left. {x}_{1}+{x}_{2} \right.+2 \right.+{\left. 2{m}^{2}+2m \right.}^{2}=0⇔2{\left. 2{m}^{2}+2m \right.}^{2}-\left. 2{m}^{2}+2m \right.\left. 4{m}^{2}-4{m}^{2}+2+4m+2 \right.+{\left. 2{m}^{2}+2m \right.}^{2}=0⇔3\left. 2{m}^{2}+2m \right.-4m-4=0⇔6{m}^{2}+2m-4=0\)\(⇔\left[ m=-1(l)m=\frac{2}{3}(tm) \right.\).

Vậy \(m=\frac{2}{3}\).

Đáp án đúng là C