Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có A'(3;−1;1) hai đỉnh B,C thuộc trục Oz và AA′=1 (C không trùng với O). Biết véc tơ u→=a;b;2 với a,b∈ℝ là một véc tơ chỉ phương của đ...

Phương trình BC≡Oz:x=0y=0z=t Mặt phẳng (AMM′A′) đi qua A′ và vuông góc với BC nên (AMM′A′) đi quaA'3;−1;1 và nhậnk→=0;0;1 làm VTPT hay AMM'A':0x−3+0y+1+1z−1=0⇔z=1 M=BC∩AMM'A'⇒t−1=0⇔t=1⇒M0;0;1 Mà AA'=1,A'M=3−02+−1−02+1−12=2 ⇒AM=A'M2−A'A2=22−12=3 Tam giác ABC đều có độ dài đường caoAM=BC32=3⇒BC=2 Gọi B0;0;m,C0;0;n vớin≠0 thì BC=2⇔m−n=2 và M(0;0;1) là trung điểm BC⇔m+n2=1⇔m+n=2 Khi đóm=0,n=2 vì n≠0 hay C(0;0;2) ⇒A'C→=−3;1;1 hay2AC'→=−23;2;2 là một VTCP của A′C. Suy ra a=−23,b=2⇒a2+b2=−232+22=16 Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi:

29/07/2022 557

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có $A' (\sqrt{3}; - 1; 1)$ hai đỉnh B,C thuộc trục Oz và AA′=1 (C không trùng với O). Biết véc tơ $\vec{u} = (a; b; 2)$ với $a, b \in ℝ$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng A′C. Tính $T = a^{2} + b^{2}$ .

A.T=5

B.T=16

C. T=4

D. T=9

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt phẳng và đường thẳng !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình $B C \equiv O z : \{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}$

Mặt phẳng (AMM′A′) đi qua A′ và vuông góc với BC nên (AMM′A′) đi qua $A^{'} (\sqrt{3}; - 1; 1)$ và nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm VTPT hay

$(A M M^{'} A^{'}) : 0 (x - \sqrt{3}) + 0 (y + 1) + 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow z = 1$

$M = B C \cap (A M M^{'} A^{'}) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M (0; 0; 1)$

Mà $A A^{'} = 1, A^{'} M = \sqrt{{(\sqrt{3} - 0)}^{2} + {(- 1 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 2$

$\Rightarrow A M = \sqrt{A^{'} M^{2} - A^{'} A^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

Tam giác ABC đều có độ dài đường cao $A M = \frac{B C \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow B C = 2$

Gọi $B (0; 0; m), C (0; 0; n)$ với $n \neq 0$ thì $B C = 2 \Leftrightarrow |m - n| = 2$ và M(0;0;1) là trung điểm $B C \Leftrightarrow \frac{m + n}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2$

Khi đó $m = 0, n = 2$ vì $n \neq 0$ hay C(0;0;2)

$\Rightarrow \vec{A^{'} C} = (- \sqrt{3}; 1; 1)$ hay $2 \vec{A C^{'}} = (- 2 \sqrt{3}; 2; 2)$ là một VTCP của A′C.

Suy ra $a = - 2 \sqrt{3}, b = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2} = 16$

Đáp án cần chọn là: B

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;3;2) và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 4 z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

A. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 2}{4}$

\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{4}

Lời giải

Gọi dd là đường thẳng đi qua M(−1;3;2) và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 4 z + 1 = 0$

$\Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n_{P}} = (1; - 2; 4)$

⇒ Phương trình đường thẳng là: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 2 = 0$ . Có bao nhiêu điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P)?

A.4.

B.0.

C.2.

D.1.

Lời giải

Vì $M \in d : \frac{x}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1} \Rightarrow$ Gọi $M (- 2 t; 1 + t; t)$

Ta có: $O M = \sqrt{{(- 2 t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} + t^{2}} = \sqrt{6 t^{2} + 2 t + 1}$

$d (M; (P)) = \frac{|2 (- 2 t) - (1 + t) + 2 t - 2|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{|- 3 t - 3|}{3} = |t + 1|$

Theo bài ra ta có: M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P)

$\Leftrightarrow \sqrt{6 t^{2} + 2 t + 1} = |t + 1|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6 t^{2} + 2 t + 1 = t^{2} + 2 t + 1 \\ \Leftrightarrow 5 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \end{array}$

$\Rightarrow M (0; 1; 0)$

Vậy có 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(0;1;0).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3

Trong không gian Oxyz, gọi d′ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$ trên mặt phẳng (Oxy). Phương trình tham số của đường thẳng d′ là

A. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$

\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x+y−z−3=0 và (Q):x+y+z−1=0. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

A. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$

B. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$

\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{m} = \frac{z - 1}{m - 2}; (P) : x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ . Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.

A. $m = \frac{3}{5}$

B. $m = 1$

C. $m = 6$

D. $m = \frac{2}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−3;5) và B(2;−5;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng $(d) : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 9}{13}$ .

A.= $3 x - 2 y + 13 z - 56 = 0$

B. $3 x + 2 y + 13 z - 56 = 0$

C. $3 x + 2 y + 13 z + 56 = 0$

3 x - 2 y - 13 z + 56 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, gọi Δ là đường thẳng đi qua M(0;0;2) và song song với mặt phẳng $(P) : x + y + z + 3 = 0$ sao cho khoảng cách từ A(5;0;0) đến đường thẳng $Δ$ nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là

A. $\vec{u_{3}} = (4; - 1; - 3)$

B. $\vec{u_{2}} = (2; - 1; - 3)$

C. $\vec{u_{4}} = (2; 1; - 3)$

\vec{u_{1}} = (4; 1; 3)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;3;2) và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 4 z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 2 = 0$ . Có bao nhiêu điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P)?

Trong không gian Oxyz, gọi d′ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$ trên mặt phẳng (Oxy). Phương trình tham số của đường thẳng d′ là

Cho $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{m} = \frac{z - 1}{m - 2}; (P) : x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ . Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−3;5) và B(2;−5;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng $(d) : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 9}{13}$ .

Trong không gian Oxyz, gọi Δ là đường thẳng đi qua M(0;0;2) và song song với mặt phẳng $(P) : x + y + z + 3 = 0$ sao cho khoảng cách từ A(5;0;0) đến đường thẳng $Δ$ nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là