Câu hỏi:

02/08/2022 434

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{25}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $\frac{I A}{I S}$ ?

A. $\frac{5}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{5}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Giả sử $S C \cap (I M N) = \{P\} \Rightarrow (I M N) \cap (S A C) = I P$

Ta có: $\{\begin{matrix} (I M N) \cap (S A C) = I P \\ (I M N) \cap (A B C D) = M N \\ (S A C) \cap (A B C D) = A C \end{matrix} \Rightarrow I P ∥ M N ∥ A C$
Trong (ABCD) gọi $\{E\} = M N \cap C D$ trong (SCD) gọi $Q = N P \cap S D$

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNI) là ngũ giác IMNPQ.

Gọi $V_{1} = V_{S . B M N P Q I}, V = V_{S . A B C D}$ theo bài ra ta có $V_{1} = \frac{7}{32} V$

Ta có $V_{1} = V_{S . B M N} + V_{S . I M N} + V_{S . I N P} + V_{S . I P Q}$

Đặt $\frac{S I}{S A} = x (0 < x < 1)$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{S I}{S A} = \frac{S P}{S C} = x$

- Xét khối chóp S.BMN và S.ABCD:

+ Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ SS đến (ABCD)).

$S_{B M N} = \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{1}{8} S_{A B C}$ (do tam giác BMN và tam giác BAC đồng dạng theo tỉ số $\frac{1}{2}$ )

Do đó $V_{S . B M N} = \frac{1}{8} V_{S . A B C D} = \frac{1}{8} V$

- Xét khối chóp S.IMN và S.AMN:

\frac{V_{S . I N P}}{V_{S . A N C}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S P}{S C} = x^{2} \Rightarrow V_{S . I M N} = x^{2} . V_{S . A N C}

Ta có $S_{A N C} = \frac{1}{2} S_{A B C} = \frac{1}{4} S_{A B C D} \Rightarrow V_{S . A N C} = \frac{1}{4} V \Rightarrow V_{S . I M N} = \frac{x^{2}}{4} V$

- Xét khối chóp S.IPQ và S.ACD: $\frac{V_{S . I P Q}}{V_{S . A C D}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S P}{S C} . \frac{S Q}{S D}$

Ta có AMEC là hình bình hành nên $E C = A M = \frac{1}{2} C D \Rightarrow \frac{E C}{E D} = \frac{1}{3}$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SCD với cát tuyến EPQ ta có:

\frac{P S}{P C} . \frac{E C}{E D} . \frac{Q D}{Q S} = 1 \Rightarrow \frac{x}{1 - x} . \frac{1}{3} . \frac{Q D}{Q S} = 1

\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{Q D}{Q S} = \frac{3 (1 - x)}{x} \Rightarrow \frac{S Q}{Q D} = \frac{x}{3 (1 - x)} \\ \Rightarrow \frac{S Q}{S Q + Q D} = \frac{x}{x + 3 (1 - x)} \\ \Rightarrow \frac{S Q}{S D} = \frac{x}{3 - 2 x} \end{array}

Suy ra $\frac{V_{S . I P Q}}{V_{S . A C D}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S P}{S C} . \frac{S Q}{S D} = x^{2} . \frac{x}{3 - 2 x} = \frac{x^{3}}{3 - 2 x}$

\Rightarrow V_{S . I P Q} = \frac{x^{3}}{3 - 2 x} V_{S . A C D}

Mà $S_{A C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D} \Rightarrow V_{S . A C D} = \frac{1}{2} V \Rightarrow V_{S . I P Q} = \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)} V$

Khi đó ta có:

V_{1} = V_{S . B M N} + V_{S . I M N} + V_{S . I N P} + V_{S . I P Q}

\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{8} V + \frac{x}{8} V + \frac{x^{2}}{4} V + \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)} V

\Rightarrow V_{1} = (\frac{1}{8} + \frac{x}{8} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)}) V = \frac{7}{32} v

\Rightarrow \frac{1}{8} + \frac{x}{8} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)} = \frac{7}{32}

\Leftrightarrow \frac{1 + x + 2 x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{3 - 2 x} = \frac{7}{16}

\Leftrightarrow (1 + x + 2 x^{2}) . (12 - 8 x) + 16 x^{3} = 7 (3 - 2 x)

\Leftrightarrow 12 + 12 x + 24 x^{2} - 8 x - 8 x^{2} - 16 x^{3} + 16 x^{3} = 21 - 14 x

\Leftrightarrow 16 x^{2} + 18 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{3}{8} (t m) \\ x = - \frac{3}{2} (k t m) \end{matrix}

$\Rightarrow \frac{S I}{S A} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{I S}{I A} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{I A}{I S} = \frac{5}{3}$
Đáp án cần chọn là: A

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}$

C. $\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}$

D. $4 c m^{3}$

Lời giải

Gọi $O = A C \cap B D$ .Vì chóp S.ABCD đều nên $S O ⊥ (A B C D)$

Vì chóp S.ABCD đều nên ABCD là hình vuông

$\Rightarrow S_{A B C D} = A B^{2} = 16 \Rightarrow A B = 4 (c m) = A D$

Gọi E là trung điểm của AB⇒OE là đường trung bình của tam giác ABD
$\Rightarrow O E / / A D \Rightarrow O E ⊥ A B$ và $O E = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} .4 = 2 (c m)$

$\begin{matrix} O E ⊥ A B \\ S O ⊥ A B (S O ⊥ (A B C D)) \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O E) \Rightarrow A B ⊥ S E$

$\Rightarrow S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} S E . A B = 8 \sqrt{3} \Rightarrow S E = \frac{16 \sqrt{3}}{A B} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} (c m)$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O E \Rightarrow Δ S O E$ vuông tại O

$\Rightarrow S O = \sqrt{S E^{2} - O E^{2}} = \sqrt{48 - 4} = \sqrt{44} = 2 \sqrt{11} (c m)$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{11} .16 = \frac{32 \sqrt{11}}{3} (c m^{3})$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Lời giải

Media VietJack

Ta có:

$\begin{matrix} A C ⊥ A B \\ A C ⊥ S B (S B ⊥ (A B C)) \end{matrix}\} \Rightarrow A C ⊥ (S A B) \Rightarrow A C ⊥ S A$

⇒SA là hình chiếu vuông góc của SC trên

(S A B) \Rightarrow \hat{(S C; (S A B))} = \hat{(S C; S A)} = \hat{C S A} = 30^{0}

\begin{matrix} (S A C) \cap (A B C) = A C \\ (S A C) \supset S A ⊥ A C \\ (A B C) \supset A B ⊥ A C \end{matrix}\} \Rightarrow ((S A \hat{C); (A} B C)) = (S \hat{A; A} B) = \hat{S A B} = 60^{0}

$S B ⊥ (A B C) \Rightarrow S B ⊥ A B \Rightarrow Δ S A B$ vuông tại B

$\Rightarrow A B = S B . \cot 60^{0} = a . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S A = \sqrt{S B^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{3}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông SAC ta có: $A C = S A . \tan 30^{0} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 a}{3}$

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S B . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABC có $A B = A C = 4, B C = 2, S A = 4 \sqrt{3}, \hat{S A B} = \hat{S A C} = 30^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $V_{S . A B C} = 8$

B. $V_{S . A B C} = 6$

C. $V_{S . A B C} = 4$

D. $V_{S . A B C} = 12$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm2, diện tích một mặt bên là 83cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích V=a336. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=4,BC=2,SA=43,SAB^=SAC^=300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Cho hình chóp S.ABC có $A B = A C = 4, B C = 2, S A = 4 \sqrt{3}, \hat{S A B} = \hat{S A C} = 30^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.