Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3\sqrt{2}$. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của điểm S lên AB,BC,AC ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{\text{Δ}ABC}=S_{\text{Δ}BCA}=S_{\text{Δ}CAB}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}SM.AB=\frac{1}{2}SN.BC=\frac{1}{2}SP.CA\end{array}$

Mà $AB=BC=CA\left(gt\right)\Rightarrow SM=SN=SP$

Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC), ta có:

CMTT ta có $ON\perp BC,OP\perp AC$

Xét các tam giác vuông $\text{Δ}SOM,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}Δ}SON,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}Δ}SOP$ có:

$\Rightarrow \text{Δ}SOM=\text{Δ}SON=\text{Δ}SOP$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow OM=ON=OP$ suy ra OO cách đều các cạnh AB,BC,CA nên O là tâm đường tròn nội tiếp $\text{Δ}ABC$ hoặc O là tâm đường tròn bàng tiếp $\text{Δ}ABC$

+ TH1: O là tâm đường tròn nội tiếp $\text{Δ}ABC$. Mà $\text{Δ}ABC$ đều nên O là đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó ta có

TH2: O là tâm đường tròn bàng tiếp $\text{Δ}ABC$.

Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác ABC

Khi đó ta có $S_{ABC}=\left(p-BC\right).R$

Có $AN=\frac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OA=AN+ON=3\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA>OA=3\sqrt{2}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM có: $OB=\sqrt{O{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2}=\sqrt{6}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có:

Khi đó ta có $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.{\left(\sqrt{6}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=3$

Vậy $\min V_{S.ABC}=3$

Đáp án cần chọn là: A