Câu hỏi:

02/08/2022 704

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

A. 3

Đáp án chính xác

B. $2 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của điểm S lên AB,BC,AC ta có:

$\begin{array}{l} S_{Δ A B C} = S_{Δ B C A} = S_{Δ C A B} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} S M . A B = \frac{1}{2} S N . B C = \frac{1}{2} S P . C A \end{array}$

Mà $A B = B C = C A (g t) \Rightarrow S M = S N = S P$

Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC), ta có:

\{\begin{matrix} A B ⊥ S M \\ A B ⊥ S O \end{matrix} \Rightarrow A B ⊥ (S O M) \Rightarrow A B ⊥ O M

CMTT ta có $O N ⊥ B C, O P ⊥ A C$

Xét các tam giác vuông $Δ S O M, Δ S O N, Δ S O P$ có:

\begin{array}{l} S O c h u n g \\ S M = S N = S P (c m t) \end{array}

$\Rightarrow Δ S O M = Δ S O N = Δ S O P$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow O M = O N = O P$ suy ra OO cách đều các cạnh AB,BC,CA nên O là tâm đường tròn nội tiếp $Δ A B C$ hoặc O là tâm đường tròn bàng tiếp $Δ A B C$

+ TH1: O là tâm đường tròn nội tiếp $Δ A B C$ . Mà $Δ A B C$ đều nên O là đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó ta có

A N = \frac{\sqrt{6} . \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, A O = \frac{2}{3} A N = \sqrt{2}

\Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{18 - 2} = 4

S_{Δ A B C} = {(\sqrt{6})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S O . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .4. \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}

TH2: O là tâm đường tròn bàng tiếp $Δ A B C$ .

Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác ABC

\Rightarrow p = \frac{3 \sqrt{6}}{2}

Khi đó ta có $S_{A B C} = (p - B C) . R$

\Rightarrow {(\sqrt{6})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = (\frac{3 \sqrt{6}}{2} - \sqrt{6}) . R \Leftrightarrow R = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Có $A N = \frac{\sqrt{6} . \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow O A = A N + O N = 3 \sqrt{2}$

$\Rightarrow S A > O A = 3 \sqrt{2}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

\Rightarrow S B = 3 \sqrt{2}

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM có: $O B = \sqrt{O M^{2} + B M^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}} = \sqrt{6}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có:

S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}} = 2 \sqrt{3}

Khi đó ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{3} . {(\sqrt{6})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = 3$

Vậy $\min V_{S . A B C} = 3$

Đáp án cần chọn là: A

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Xem đáp án » 01/08/2022 3,084

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,350

Câu 3:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}$

C. $\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}$

D. $4 c m^{3}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,194

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Xem đáp án » 02/08/2022 2,053

Câu 5:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án » 02/08/2022 2,014

Câu 6:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án » 02/08/2022 1,176

Câu 7:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}$ nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_{2}$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ bằng

A. $\frac{11}{140}$

B. $\frac{22}{35}$

C. $\frac{11}{70}$

D. $\frac{11}{35}$

Xem đáp án » 02/08/2022 984

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 6. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 32. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm2, diện tích một mặt bên là 83cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích V=a336. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?