Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: 50.30 = 1500 (cm²).

Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: 50 – 2x (cm).

Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: 30 – 2x (cm).

Diện tích xung quanh của hộp là:

2x (50 – 2x + 30 – 2x) = 2x(80 – 4x) = −8x² + 160x (cm²).

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì

−8x² + 160x đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: −8x² + 160x = −8(x² – 20x + 100) + 800 = −8(x – 10)² + 800.

Nhận thấy −8(x – 10)² ≤ 0 nên −8(x – 10)² + 800 ≤ 800.

Dấu “=” xảy ra khi x – 10 = 0 hay x = 10.

Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là 800 cm² khi x = 10 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi x là giá mà cửa hàng phải bán để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất (x > 0, triệu đồng).

Theo đề, số tiền mà của hàng sẽ giảm là 22 – x (triệu đồng) mỗi chiếc.

Khi đó, số lượng máy tính tăng lên là: 50(22 – x) : 0,2 = 250(22 – x) chiếc.

Do đó, số lượng máy tính mà doanh nghiệp bán được là:

500 + 250(22 – x) = 6000 – 250x (chiếc)

Doanh thu mà cửa hàng sẽ đạt được là: (6000 – 250x)x (triệu đồng).

Tiền mà cửa hàng bỏ ra để nhập máy tính sẽ là:

18(6000 – 250x) = 108000 – 4500x (triệu đồng)

Lợi nhuận mà cửa hàng thu được sau khi bán giá mới là:

(6000 – 250x)x – 108000 + 4500x = −250x² + 10500x – 108000 (triệu đồng).

Ta có: −250x² + 10500x – 108000 = −250(x – 21)² + 2250 ≤ 2250.

Dấu “=” xảy ra khi −250(x – 21)² = 0 suy ra x – 21 = 0 khi x = 21.

Vậy cửa hàng bán với giá 21 triệu đồng thì doanh thu nhận được là lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn AB là x (0 < x < 8, m).

Lúc này, độ dài đoạn AB chính là chu vi hình vuông đó và bằng 4x (m).

Do đó, độ dài đoạn BC là 8 – 4x (m).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn BC là \[\frac{{8 - 4x}}{4}\] = 2 – x (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là x² + (2 – x)² (m²).

Ta có: x² + (2 – x)² = 2x² – 4x + 4 = 2(x² – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1)² + 2 ≥ 2.

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 m² khi x – 1 = 0 hay

x = 1.

Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB = 4 m và độ dài đoạn thẳng BC = 8 – 4 = 4 m hay B là trung điểm của đoạn AC.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị lớn nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau AB = BC = 4 m.

Đáp án đúng là: A

• Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là x và y (0 < x, y < 150).

Khi đó, ta có chu vi mảnh đất hình chữ nhật đó là 300 m,

suy ra x + y = 300 : 2 = 150 (m).

Diện tích của mảnh đất là S = xy (m²).

• Chứng minh bổ đề: \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\] với mọi x, y > 0.

Thật vậy, với mọi x, y > 0, ta có:

(x – y)² ≥ 0

x² – 2xy + y² ≥ 0

(x + y)² – 4xy ≥ 0

\[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\].

Đẳng thức xảy ra khi x = y.

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: \[S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]

Suy ra S ≤ \[\frac{{{{150}^2}}}{4}\] = 5 625.

Dấu “=” xảy ra khi x = y = \[\frac{{150}}{4}\] = 75 m.

Vậy tể tướng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình vuông có cạnh 75 m để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Diện tích giấy màu cần sử dụng chỉnh bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng 16 cm và cạnh đáy bằng 2x cm.

Xét tam giác SBC, kẻ đường cao SH vuông với BC tại H.

Do tam giác SBC cân tại S nên SH vừa là đường cao, vừa là đường trung trực.

Suy ra H là trung điểm của BC.

Suy ra BH = HC = \[\frac{{BC}}{2}\] = x cm (0 < x < 16).

Áp dụng định li Pythagore vào tam giác SHC, ta có:

SH² + HC² = SC²

SH² = 16² – x²

SH² = 256 – x²

SH = \(\sqrt {256 - {x^2}} \)

Diện tích tam giác SBC là \(\frac{1}{2}.2x.\sqrt {256 - {x^2}} = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\)(cm²).

Diện tích giấy màu cần sử dụng là 4\(x\sqrt {256 - {x^2}} \)(cm²).

Thực hiện tính giá trị lớn nhất của S = 4\(x\sqrt {256 - {x^2}} \) với 0 < x < 16.

Ta có: \(4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}} \)

\( = 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2.128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}} \)

\( = 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512\).

Do đó, S ≤ 512.

Dấu “=” xảy ra khi x² – 128 = 0 hay x = \(8\sqrt 2 \) (0 < x < 16).

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là 512 cm².

Đáp án đúng là: A

Chiều dài của đáy bể là 2x (m).

Diện tích đáy của bể là 2x² (m²).

Chiều cao của bể là: \[\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}\] (m²).

Diện tích xung quanh của bể là 2. \[\frac{{36}}{{{x^2}}}\].(x + 2x) = \[\frac{{216}}{x}\] (m²).

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể và bằng: \[\frac{{216}}{x}\] + 2x² (m²).

Do x là chiều rộng của bể nên x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)

Suy ra 2x² + \[\frac{{216}}{x}\] ≥ 3\(\sqrt[3]{{23328}}\) ≈ 3,78 m.

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì x ≈ 3,78 m.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao h và chiều rộng đáy y bằng 4, suy ra h = 4y.

Thể tích khối hộp 3 dm³ nên xyh = 3 (dm³) hay 4xy² = 3 (dm³), suy ra x = \[\frac{3}{{4{y^2}}}\].

Do chiếc hộp không nắp, nên diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung của hộp.

Ta có:

\(S = xy + 2h\left( {x + y} \right) = \frac{3}{{4{y^2}}}.y + 2.4y.\left( {\frac{3}{{4{y^2}}} + y} \right)\)

\( = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{4y}} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2}\).

Do y là chiều rộng của hộp nên y > 0.

Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cả ba đều số không âm, ta được:

\(\frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}}\) suy ra S ≥ \(\frac{{27}}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2}\), suy ra y = \(\frac{3}{4}\) (dm).

Do đó, \(x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{3}{{4.{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{dm}}} \right)\)

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là \(\frac{{27}}{2}\) (dm²) khi chiều dài

x = \(\frac{4}{3}\) (dm).

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình vuông ABCD là 6² = 36 (cm²).

Diện tích tam giác BEF là \[\frac{1}{2}\].3.(6 – 2) = 6 (cm²).

Diện tích hình thang EFGH là:

S_ABCD − S_BEF – S_AHE – S_DHG – S_CGF = 30 – (S_AHE + S_DHG + S_CGF).

Để diện tích hình thang EFGH nhỏ nhất thì S_AHE + S_HDG + S_CGF có diện tích lớn nhất.

Ta có: S_AHE + S_HDG + S_CGF = \[\frac{1}{2}\].2x + \[\frac{1}{2}\](6 – x)(6 – y) + \[\frac{1}{2}\].3y

= 2x + (6 – x)(6 – y) + 3y

= 2x + 36 – 6y – 6x + xy + 3y

= 36 + xy – 4x – 3y.

Xét ∆AEH và ∆CGF, có: \[\widehat {EAH} = \widehat {GCF}\] = 90° và \[\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\] (do EFGH là hình thang).

Suy ra ∆AEH ᔕ ∆CGF (g-g) nên \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{2}{y} = \frac{x}{3}\] do đó xy = 6 hay y = \[\frac{6}{x}.\]

Từ đó, ta có: 2(S_AHE + S_HDG + S_CGF) = 21 – \[\left( {2x + \frac{9}{x}} \right)\].

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 2x + \[\frac{9}{x}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi 2x = \[\frac{9}{x}\] hay 2x² = 9 khi x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

Do đó, S_AHE + S_HDG + S_CGF = 21 – 6\[\sqrt 2 \] và

S_EFGH = 30 – 21 + 6\[\sqrt 2 \] = 9 + 6\[\sqrt 2 \] (cm²).

Vậy AH = x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] (cm²) thì diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.