Bài tập Các bài toán về chứng minh lớp 9 (có lời giải)

Câu 1/10

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và một điểm $M$ tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\frac{{AB}}{2}$.

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với $a,b \ge 0$, ta có $\sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}$.

Lời giải

$$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm). (ảnh 1)$

Gọi khoảng cách từ $M$ đến $AB$ là $MH$ và bán kính đường tròn \[\left( O \right)\] là $R$. Ta có $OM = OA = OB( = R)$.

Đó đó $\Delta AMB$ vuông tại $M$.

Ta có $\Delta MHA$$\Delta BHM(g \cdot g) \Rightarrow \frac{{MH}}{{HA}} = \frac{{BH}}{{HM}}$

$ \Rightarrow MH = \sqrt {HA \cdot HB} \le \frac{{HA + HB}}{2} \le \frac{{AB}}{2}$

$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm).

Câu 2/10

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $MN$ < $BC$.

Lời giải

$$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm). (ảnh 1)$

Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác vuông lần luợt tại $M$ và $N$ và $OM,ON$ lần luợt là các trung tuyến.

Ta có $OM = ON = OB = OC( = R$, trong đó \[R\] là bán kính đường tròn đường kính $BC$ )

Xét tam giác \[MON\], ta có $MN < OM + ON$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà$OM + ON = OB + OC = BC$.

Vậy $MN < BC$.

Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”.

Câu 3/10

Cho đường tròn $(O)$ đuờng kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH = DK.$

Lời giải

Kẻ \[OI\] $ \bot CD$, tam giác \[COD\] cân tại $O$ nên đường cao \[OI\] đường thời đường trung tuyến $ \Rightarrow IC = ID$.

Lại có \[AHKB\] là hình thang vuông.

($AH{\rm{//}}BK( \bot HK)$) mà \[OI\] là đường trung bình nên \[I\] là trung điểm của \[HK\] ta có $IH = IK$

$ \Rightarrow HI - CI = KI - ID{\rm{ hay }}CH = DK$

$Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác (ảnh 1)$

Nhận xét: Do $HI = KI$ và \[IC\; = ID\] nên ta có $HI + ID = IK + IC$ hay $HD = KC$. Ta có bài toán sau:

Cho đường tròn $(O)$đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H,K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ $A,B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $HD = CK$ (Học sinh tự giải).

Trường hợp dây $CD$ cắt đường kính $AB$ đưa ta đến bài toán 4 sau đây.

Câu 4/10

Cho đường tròn $(O)$đường kính $AB$, dây $CD$ cắt đường kính $AB$ tại $E$. Gọi $H,K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH = DK$.

Lời giải

$Trường hợp dây $CD$ cắt đường kính $AB$ đưa ta đến bài toán 4 sau đây. (ảnh 1)$

Kẻ $OI \bot CD$ ta có $IC = ID$ (tam giác $COD$cân tại $O$ nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và $AK$ ta có $M$ là trung điểm của \[AK\].

Xét $\Delta AKH$ có $M$ là trung điểm của \[AK\]

\[MI{\rm{\;//}}AH\](vì cùng $ \bot CD$)

$ \Rightarrow $ \[I\] là trung điểm của \[HK\] hay $IH = IK$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow IC - IH = ID - IK$ hay $CH = DK$

Nhận xét: Theo bài toán 1. Trên dây \[CD\] ta lấy thêm điểm \[M\].

Khi đó $OI \le OM$. Mà $OM = \frac{{AH + BK}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$ \Rightarrow AH + BK \le 2OM$.

Câu 5/10

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. M là điểm cố định nằm trong đường tròn ( $M$ khác $O$ ) và \[CD\] là dây cung quay quanh $M$. Gọi \[H,{\rm{ }}K\]lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ lên $CD$. Xác định vị trí của dây CD để $AH + BK$ lớn nhất.

Hướng dẫn: Kẻ $OI \bot CD$.

Lời giải

Chúng ta sẽ có bài toán sau: (ảnh 1)

Ta có \[AH,{\rm{ }}BK\] cùng vuông góc với \[CD\]

$ \Rightarrow $ Tứ giác \[ABKH\] là hình thang và có \[OI\] là đường trung bình

$OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI$

Ta có $OI \le OM$ (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Dấu " =" xảy ra khi $OM \bot CD$

Câu 6/10

Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$.

Lời giải

$Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$. (ảnh 1)$

Ta có $AB = CD$ (gt) $ \Rightarrow OH = OK$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông \[MHO\] theo định lí Pythagore: $M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}$

Tương tự với $\Delta MKO$, ta có $M{K^2}{\rm{ = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}$mà $OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}$ (1)

Lại có $OH \bot AB$ (gt) $ \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}$

Tương tự $KC = KD = \frac{{CD}}{2}$ mà $AB = CD$$ \Rightarrow HA = CK$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow MH - HA = MK - CK$

hay $MA = MC$.

Nhận xét: Trường hợp hai dây $AB,CD$ không bằng nhau, chằng hạn $AB > CD$ ta có bài toán sau:

Câu 7/10