Bài tập Các bài toán về chứng minh lớp 9 (có lời giải)

Gọi khoảng cách từ \(M\) đến \(AB\) là \(MH\) và bán kính đường tròn \[\left( O \right)\] là \(R\). Ta có \(OM = OA = OB( = R)\).

Đó đó \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\).

Ta có \(\Delta MHA\)\(\Delta BHM(g \cdot g) \Rightarrow \frac{{MH}}{{HA}} = \frac{{BH}}{{HM}}\)

\( \Rightarrow MH = \sqrt {HA \cdot HB}  \le \frac{{HA + HB}}{2} \le \frac{{AB}}{2}\)

Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác vuông lần luợt tại \(M\) và \(N\) và \(OM,ON\) lần luợt là các trung tuyến.

Ta có \(OM = ON = OB = OC( = R\), trong đó \[R\] là bán kính đường tròn đường kính \(BC\) )

Xét tam giác \[MON\], ta có \(MN < OM + ON\) (bất đẳng thức tam giác)

Mà\(OM + ON = OB + OC = BC\).

Nhận xét: Do \(HI = KI\) và \[IC\; = ID\] nên ta có \(HI + ID = IK + IC\) hay \(HD = KC\). Ta có bài toán sau:

Cho đường tròn \((O)\)đường kính \(AB\), dây \(CD\) không cắt đường kính \(AB\). Gọi \(H,K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ \(A,B\) đến \(CD\). Chứng minh rằng \(HD = CK\) (Học sinh tự giải).

Trường hợp dây \(CD\) cắt đường kính \(AB\) đưa ta đến bài toán 4 sau đây.

Kẻ \(OI \bot CD\) ta có \(IC = ID\) (tam giác \(COD\)cân tại \(O\) nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và \(AK\) ta có \(M\) là trung điểm của \[AK\].

Xét \(\Delta AKH\) có \(M\) là trung điểm của \[AK\]

\[MI{\rm{\;//}}AH\](vì cùng \( \bot CD\))

\( \Rightarrow \) \[I\] là trung điểm của \[HK\] hay \(IH = IK\) (2)

Ta có \[AH,{\rm{ }}BK\] cùng vuông góc với \[CD\]

\( \Rightarrow \) Tứ giác \[ABKH\] là hình thang và có \[OI\] là đường trung bình

\(OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI\)

Ta có \(OI \le OM\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Ta có \(AB = CD\) (gt) \( \Rightarrow OH = OK\) (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông \[MHO\] theo định lí Pythagore: \(M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}\)

Tương tự với \(\Delta MKO\), ta có \(M{K^2}{\rm{  = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}\)mà \(OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}\) (1)

Lại có \(OH \bot AB\) (gt) \( \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}\)

Tương tự \(KC = KD = \frac{{CD}}{2}\) mà \(AB = CD\)\( \Rightarrow HA = CK\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MH - HA = MK - CK\)

hay \(MA = MC\).

Nhận xét: Trường hợp hai dây \(AB,CD\) không bằng nhau, chằng hạn \(AB > CD\) ta có bài toán sau: