Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh \(x(cm)\), chiều cao \(h(cm)\) và có thể tích là \(500\left. {cm}^{3} \right.\).

Tìm \(x\) sao cho diện tích mảnh các tông đó nhỏ nhất?

Ta có: \(AB//\left. {A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'} \right.\)

\(⇒d\left. A;\left. {A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'} \right. \right.=d\left. M;\left. {A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'} \right. \right.\).

Ta có: \({S}_{△NP{D}^{'}}=\frac{1}{2}{S}_{NP{C}^{'}{D}^{'}}=\frac{1}{4}{S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}}\).

Vậy \(\frac{{V}_{MNP{D}^{'}}}{{V}_{ABCD⋅{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}}}=\frac{\frac{1}{3}d\left. M;\left. {A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'} \right. \right.⋅{S}_{NP{D}^{'}}}{d\left. A;\left. {A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'} \right. \right.⋅{S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}}}=\frac{\frac{1}{3}⋅\frac{1}{4}⋅{S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}}}{{S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}}}=\frac{1}{12}\).

Đáp án đúng là D

vì \(⃗AD=⃗BC\) nên \(C(4;10;0)\) và \(⃗SC=(4;10;-3,5)\).

Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{x}{4}+\frac{y}{10}+\frac{z}{3,5}=1\).

\(⇔35x+14y+40z-140=0\)Suy ra \(⃗n=(35;14;40)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\).

Khi đó, \(sin⁡(SC,(SBD))=\frac{|⃗SC⋅⃗n|}{|⃗SC|⋅|⃗n|}=\frac{|4⋅35+10⋅14+(-3,5)⋅40|}{\sqrt[]{{4}^{2}+{10}^{2}+(-3,5{)}^{2}}⋅\sqrt[]{{35}^{2}+{14}^{2}+{40}^{2}}}=\frac{280\sqrt[]{53}}{9063}\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((SBD)\) là khoảng \({13}^{∘}\).

Đáp án đúng là Đ; Đ; Đ; S