Bài tập Tọa độ của điểm, vectơ lớp 12 (có lời giải)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = 4\vec i + 0\vec j + 0\vec k\), suy ra \(A(4;0;0)\);

\(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 4\vec i + 6\vec j + 0\vec k{\rm{, suy ra }}B(4;6;0);\)

\({\rm{ }}\overrightarrow {O{B^\prime }}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = 4\vec i + 6\vec j + 3\vec k{\rm{, suy ra }}{B^\prime }(4;6;3)\)

Vì \(\overrightarrow {OB} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \({\rm{OB}} = 5\) nên \(\overrightarrow {OB}  = 5\vec i\).

Tương tự, ta có \(\overrightarrow {OD}  = 5\vec j;\overrightarrow {O{A^\prime }}  = 5\vec k\).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = 5\vec i + 5\vec j\).

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {O{A^\prime }}  = 5\vec i + 5\vec j + 5\vec k\).

Do đó \({\rm{B}}(5;0;0),{\rm{C}}(5;5;0),{{\rm{C}}^\prime }(5;5;5)\).

Ta cần tìm toạ độ các đỉnh \(O,C,{B^\prime },{C^\prime },{D^\prime }\).

- Toạ độ đỉnh \(O\) là \((0;0;0)\).

- Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {OB}  = 2\vec i,\overrightarrow {OD}  = \vec j,\overrightarrow {O{O^\prime }}  = \vec k\).

Suy ra:

\(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = 2\vec i + \vec j;\overrightarrow {O{B^\prime }}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = 2\vec i + \vec k;\)

\(\overrightarrow {O{C^\prime }}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = 2\vec i + \vec j + \vec k;{\rm{ }}\overrightarrow {O{D^\prime }}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = \vec j + \vec k.\)

Vậy \(C(2;1;0),{B^\prime }(2;0;1),{C^\prime }(2;1;1),{D^\prime }(0;1;1)\).

Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \), ta cần biểu diễn \(\overrightarrow {AB} \) theo ba vectơ \(\vec i,\vec j,\vec k\).

Do \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\vec i\) và \(|\overrightarrow {AB} | = AB = 8 = 8|\vec i|\) nên \(\overrightarrow {AB}  = 8\vec i\) hay \(\overrightarrow {AB}  = 8\vec i + 0\vec j + 0\vec k\).

Tương tự, ta cũng có: \(\overrightarrow {AD}  = 0\vec i + 6\vec j + 0\vec k,\overrightarrow {A{A^\prime }}  = 0\vec i + 0\vec j + 4\vec k\).

Trong hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 8\vec i + 6\vec j + 0\vec k\).

Trong hình bình hành \(A{A^\prime }{C^\prime }C\), ta có: \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A^\prime }}  = 8\vec i + 6\vec j + 4\vec k\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = (8;0;0);\overrightarrow {AC}  = (8;6;0);\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (8;6;4)\).

\({\rm{V`i   }}\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }}  + \overrightarrow {A{D^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}(8\vec i + 6\vec j + 4\vec k + 6\vec j + 4\vec k) = 4\vec i + 6\vec j + 4\vec k\) \({\rm{n^e n }}\overrightarrow {AM}  = (4;6;4).\)