Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AB} \)?

Hình ảnh dưới đây là phân độ của 8 hướng trên la bàn. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d \]. Trong các biểu thức vec tơ sau đây, biểu thức nào là đúng?

Cho lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} \].

Cho ba điểm phân biệt \(A,B,C\). Nếu \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \) thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

Cho tam giác \(ABC\) có điểm \(O\) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right|\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

Cho lập phươn g \[ABCD.A'B'C'D'\]có độ dài cạnh bằng \[a\]. Tính độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {BA'} \].

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật. Biết rằng: cạnh \[AB = a\], \[AD = 2a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt đáy. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)             Hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b)            Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {SC\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)             Tích vô hướng \[\overrightarrow {AM\,}  \cdot \,\overrightarrow {AB\,}  = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d)            Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AM\,}  - \overrightarrow {AN\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Cho hình lập phương \[ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \] có cạnh bằng \[a\]. Trên các cạnh \[AA\prime \], \[CC\prime \] lần lượt lấy các điểm \[M\], \[N\] sao cho \[AM = \frac{2}{3}AA\prime \], \[CN = NC\prime \]. Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)             Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AN\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].

b)            Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {MN\,}  + \overrightarrow {AM\,} \] là \[\frac{{3a}}{2}\].

c)             Tích vô hướng \[\overrightarrow {AN\,}  \cdot \,\overrightarrow {AC\,}  = {a^2}\].

d)            Tích vô hướng \[\overrightarrow {MN\,}  \cdot \,\overrightarrow {A\prime C\prime \,}  = 2{a^2}\].

a)     Hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b)     Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {A'H\,} \] và \[\overrightarrow {AH\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)      Tích vô hướng \[\overrightarrow {AK\,} \cdot \,\overrightarrow {AB'\,} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].

d)     Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AK\,} + \overrightarrow {AH\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). \(E\) là điểm trên đoạn \(CD\) sao cho \(ED = 2CE\). Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)    Có \[6\] vectơ (khác vectơ \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện.

b)    Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \] và \[\overrightarrow {BC\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)    Nếu \[\overrightarrow {BE\,} = m\overrightarrow {BA\,} + n\overrightarrow {BC\,} + p\overrightarrow {BD\,} \] thì \[m + n + p = \frac{2}{3}\].

d)    Tích vô hướng \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho tứ diện \[ABCD\]. Trên các cạnh \[AD\] và \[BC\] lần lượt lấy \[M,N\]sao cho \(AM = 3MD\), \(BN = 3NC\). Gọi \[P,Q\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {DC} \) ta được \[\overrightarrow {MN} = a\overrightarrow {PQ} + b\overrightarrow {DC} \] . Tính \[a + 2b\].

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Một mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] cắt các cạnh \[SA,\,\,SB,\,\,SC,\,SD\] lần lượt tại \[A',B',C',D'\]. Giá trị của biểu thức \[P = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} - \frac{{SB}}{{SB'}} - \frac{{SD}}{{SD'}}\] bằng bao nhiêu ?

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \).

Cho tứ diện \[ABCD\], gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và \[AD\], biết \(AB = a\), \(CD = a\), \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].