Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

1. ⦁ Ta có căn bậc hai của \[20,25\] là \[\sqrt {20,25} = \sqrt {{{4,5}^2}} = 4,5\].

Vậy căn bậc hai của \[20,25\] là \[4,5\].

⦁ Vì \(a\) có căn bậc hai là \[20,25\], nên ta có:

\[\sqrt a = 20,25\] suy ra \[a = {20,25^2}\] hay \[a = 410,0625\].

Vậy \[a = 410,0625\] là số cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Với mọi \(x \ge 0,\) ta có:

⦁ \[\sqrt x - 3 \ne 0\] khi \(\sqrt x \ne 3\) hay \(x \ne 9.\)

⦁ \(x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\) và \(1 - \sqrt x = - \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

Với mọi \(x \ge 0,\) ta có \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.\)

Do đó \(x - 1 \ne 0\) khi \(\sqrt x - 1 \ne 0,\) hay \(\sqrt x \ne 1,\) tức là \(x \ne 1.\)

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\] là \[x \ge 0,\,\,x \ne 9\] và điều kiện xác định của biểu thức \[B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\] là \[x \ge 0,\,\,x \ne 1.\]

b) Thay \[x = \frac{1}{9}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\], ta được:

\[A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 1}}{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} - 3}} = \frac{{ - \frac{2}{3}}}{{ - \frac{8}{3}}} = \frac{1}{4}.\]

Vậy \(A = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)

c) Với \[x \ge 0;x \ne 1\], ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\]

   \[ = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x - 1}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{x + 2\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 5 + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + \sqrt x + 6\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\].

Vậy với \[x \ge 0;x \ne 1\] thì \[B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\].

d) Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 1,x \ne 9,\] ta có:

\[P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 9}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}}.\]

⦁ Với \[0 \le x < 9,x \ne 1\] thì \[\sqrt x - 3 < 0\], suy ra \[1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}} < 1\] hay \[P < 1.\]

⦁ Với \[x > 9\] và \[x \in \mathbb{N}\] suy ra \[x \ge 10\]. Do đó, \[\sqrt x - 3 \ge \sqrt {10} - 3 > 0\].

Suy ra \[\frac{9}{{\sqrt x - 3}} \le \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}\] nên \[1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}} \le 1 + \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}\] hay \[P \le 1 + \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 10\].

Vậy với \[x = 10\] thì biểu thức \[P\] đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi \[x,\,\,y\] lần lượt là giá niêm yết của một chiếc bếp từ đôi và một chiếc nồi chiên không dầu \[(0 < x < 21,\,\,0 < y < 21\], triệu đồng).

Theo đề, giá niêm yết của một chiếc bếp từ đôi và một chiếc nồi chiên không dầu tổng cộng là \[21\] triệu đồng nên ta có phương trình: \[x + y = 21\]. (1)

Bếp từ đôi giảm giá \[15\% \], tức là có giá bằng \[100\% - 15\% = 85\% \] giá niêm yết , nghĩa là giá của một bếp từ đôi sau khi giảm là \[85\% x = 0,85x\].

Nồi chiên không dầu giảm giá \[10\% \], tức là có giá bằng \[100\% - 10\% = 90\% \] giá niêm yết, nghĩa là giá của một nồi chiên không dầu sau khi giảm là \[90\% y = 0,9y\].

Bác Lan mua hai sản phẩm sau khi giảm giá với số tiền \[18,3\] triệu đồng nên ta có phương trình:

\[0,85x + 0,9y = 18,3\]. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\0,85x + 0,9y = 18,3\end{array} \right.\].

Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[x = 21 - y\,\,\,\left( * \right)\], thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[0,85\left( {21 - y} \right) + 0,9y = 18,3\]

\[17,85 + 0,05y = 18,3\]

\[0,05y = 0,45\]

\[y = 9\] (thỏa mãn).

Thay \[y = 9\] vào phương trình (*), ta được \[x = 21 - 9 = 12\] (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của bếp từ đôi và nồi chiên không dầu lần lượt là \[12\] triệu đồng và \[9\] triệu đồng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[Ax\,{\rm{//}}\,BC\] suy ra \[\widehat {ACB} = \widehat {xAC} = 35^\circ \] (so le trong).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\) ta có:

\[\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}};\] \[\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}.\]

b) Ta có \[AB = 1,6 + 25 = 26,6{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Theo câu a, ta có:

⦁ \[\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\] nên \[BC = \frac{{AB}}{{\tan 35^\circ }} = \frac{{26,6}}{{\tan 35^\circ }} \approx 38{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\]

⦁ \[\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\] nên \[AC = \frac{{AB}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{{26,6}}{{\sin 35^\circ }} \approx 46{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng \[38{\rm{ m}}\] và cách mắt người quan sát khoảng \(46{\rm{\;m}}.\)