Bài tập Nhận biết, chứng minh các yếu tố liên quan đến góc, cạnh, đường chéo trong tứ giác lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Từ hình vẽ ta thấy các điểm E, H nằm bên ngoài tứ giác và điểm F nằm bên trong tứ giác ABCD nên D sai.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác ABCD có các cặp góc đối nhau là \[\widehat {DAB}\,,\,\,\widehat {BCD}\] và \[\widehat {CDA}\,,\,\,\widehat {ABC}\] còn \[\widehat {ABC}\] và \[\widehat {BCD}\] là hai góc kề nhau nên C sai

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ ta thấy: Điểm M nằm ngoài tứ giác ABCD và điểm N nằm trong tứ giác ABCD.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có: \(\widehat {\rm{B}} = 90^\circ ;{\rm{AB}} = {\rm{BC}}\)

Suy ra ΔABC vuông cân

Vậy \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét tam giác ADC có CD = DA.

Suy ra ΔADC cân tại D có \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 120^\circ \) nên:

\(\widehat {{\rm{DAC}}} = \widehat {{\rm{DCA}}} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Từ đó ta có:\(\widehat {\rm{A}} = \widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{CAD}}} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ \).

Và \(\widehat {\rm{C}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} + \widehat {{\rm{ACD}}} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ \).

Do đó \(\widehat A = \widehat C = 75^\circ \)

Đáp án đúng là: C

+) Xét tam giác OAB ta có OA + OB > AB (theo bất đẳng thức tam giác).

Tương tự ta có OC + OD > CD; OB + OC > BC; OA + OD > AD.

Cộng vế với vế ta được

OA + OB + OC + OD + OB + OC + OA + OD > AB + BC + CD + AD.

2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA.

\[\frac{{AB + BC + CD + DA}}{2} < OA + OB + OC + OD\]nên B đúng.

+) Xét tam giác ABC có AB + BC > AC (theo bất đẳng thức tam giác).

Tương tự ta có BC + CD > BD; CD + DA > AC; AD + DB > BD.

Cộng vế với vế ta được

AB + BC + BC + CD + CD + DA + DA + AB > AC + BD + AC + BD.

2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD).

AB + BC + CD + DA > AC + BD

Mà AC + BD = OA + OC + OB + OD

Nên OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA, do đó A đúng.

Vậy cả A, B đều đúng.

Đáp án đúng là: B

Gọi K là giao điểm AD, BC.

Vì \[\widehat C + \widehat D = 90^\circ \] nên \[\widehat K = 90^\circ \]

• Xét ΔKAC vuông tại K ta có: AC² = KC² + KA².

• Xét ΔKBD vuông tại K ta có: BD² = KB² + KD².

• Xét ΔKBA vuông tại K ta có: BA² = KA² + KB².

• Xét ΔKBD vuông tại K ta có: CD² = KC² + KD².

Từ đó BD² + AC² = KC² + KA² + KB² + KD²

= (KB² +KA²) + (KD² + KC²) = AB² + DC².

Đáp án đúng là: A

• Xét tam giác BIC có: \(\widehat {{\rm{IBC}}} = {\widehat {\rm{I}}_1} - \widehat {{\rm{BCI}}}{\rm{. }}\)

• Xét tam giác DIC có: \(\widehat {{\rm{IDC}}} = {\widehat {\rm{I}}_2} - \widehat {{\rm{ICD}}}\)

Nên \[\widehat {{\rm{IBC}}} + \widehat {{\rm{IDC}}} = \left( {{{\widehat {\rm{I}}}_1} + {{\widehat {\rm{I}}}_2}} \right) - \left( {{{\widehat {\rm{C}}}_1} + {{\widehat {\rm{C}}}_2}} \right) = \widehat {{\rm{BID}}} - \widehat {\rm{C}}\]

• Tứ giác ABID có: \(\widehat {{\rm{ABI}}} + \widehat {{\rm{ADI}}} = 360^\circ - \widehat {\rm{A}} - \widehat {{\rm{BID}}}\)

Do \(\widehat {{\rm{ABI}}} = \widehat {{\rm{IBC}}}\); \(\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{IDC}}}\) (tính chất tia phân giác)

Nên \(\widehat {{\rm{IBC}}} + \widehat {{\rm{IDC}}} = \widehat {{\rm{ABI}}} + \widehat {{\rm{ADI}}}\).

Hay \(\widehat {{\rm{BID}}} - \widehat {\rm{C}} = 360^\circ - \widehat {\rm{A}} - \widehat {{\rm{BID}}}\)

\(2\widehat {{\rm{BID}}} = 360^\circ - \left( {\widehat {\rm{A}} - \widehat {\rm{C}}} \right) = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \).

Suy ra \(\widehat {{\rm{BID}}} = 150^\circ \).

Đáp án đúng là: A

• Xét tam giác ABC có AB = BC suy ra ΔABC cân tại B.

Ta có \(\widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{ACB}}} = 180^\circ \) (tổng số đo ba góc trong một tam giác).

Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} = \frac{{180^\circ - 100^\circ }}{2} = 40^\circ \).

• Xét tam giác ADC có CD = DA suy ra ΔADC cân tại D.

Ta có \(\widehat {{\rm{DAC}}} + \widehat {{\rm{ADC}}} + \widehat {{\rm{ACD}}} = 180^\circ \) (tổng số đo ba góc trong một tam giác).

Suy ra \[\widehat {{\rm{DAC}}} = \widehat {{\rm{DCA}}} = \frac{{180^\circ - 70^\circ }}{2} = 55^\circ \].

Từ đó ta có: \(\widehat {\rm{A}} = \widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{CAD}}} = 40^\circ + 55^\circ = 95^\circ \)

Và \(\widehat {\rm{C}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} + \widehat {{\rm{ACD}}} = 40^\circ + 55^\circ = 95^\circ \).

Nên \(\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = 95^\circ \).