\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1.t\\y = 2 + 3.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) (với t là tham số)

Vậy ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).

Câu 3/11

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(1; 2), B(0; –1) và C(–2; 3). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến.

\(\overrightarrow {BC} \) = (–2 – 0; 3 + 1) = (–2; 4)

Phương trình của đường thẳng d là:

–2(x – 1) + 4(y – 2) = 0

⇔ –2x + 2 + 4y – 8 = 0

⇔ –2x + 4y – 6 = 0

⇔ x – 2y + 3 = 0

Vậy d: x – 2y + 3 = 0.

Câu 4/11

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(2; 3). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 1)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 1) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 1.t\\y = 2 + 1.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

Câu 5/11

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt 5 \)của đường thẳng ∆.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\] nên các vectơ pháp tuyến của ∆ có dạng là \[\overrightarrow {n'} = \left( {2t; - t} \right)\]. Theo giả thiết ta có:

\(\left| {\overrightarrow {n'} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)

⇔ 4t² + t² = 20

⇔ 5t² = 20

⇔ t² = 4

⇔ t = ±2

Với t = 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\overrightarrow {{n_1}'} \) = (4; –2)

Với t = – 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\overrightarrow {{n_2}'} \) = (–4; 2).

Vậy có hai vectơ pháp tuyến thỏa mãn là \(\overrightarrow {{n_1}'} \) = (4; –2) và \(\overrightarrow {{n_2}'} \) = (–4; 2).

Câu 6/11

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình y = –2x + 3. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: y = –2x + 3 ⇔ 2x + y – 3 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x + y – 3 = 0.

Từ phương trình tổng quát ta thấy đường thẳng d: 2x + y – 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n \) = (2; 1), do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \)= (1; –2).

Thay x = 1 vào phương trình tổng quát ta có: y = 1.

Chọn điểm (1; 1) thuộc đường thẳng d: 2x + y – 3 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng này là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 1.t\\y = 1 + ( - 2).t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\).

Câu 7/11