Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản có đáp án

a) y = x(x² – 4x) = x³ – 4x²

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 8x

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = \(\frac{8}{3}\).

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và \(\left( {\frac{8}{3}; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{8}{3}} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = \(\frac{8}{3}\), y_CT = \( - \frac{{256}}{{27}}\).

Đồ thị hàm số:

b) y = −x³ + 3x² – 2

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −3x² + 6x

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = −2.

Đồ thị hàm số:

a) Khi m = −1 ta được: y = −2x³ – x – 2.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −6x² – 1

           y' = 0 phương trình vô nghiệm.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Hàm số không cực trị.

Đồ thị hàm số

b) Ta có: y = (m – 1)x³ + 2(m + 1)x² – x + m – 1               

               y' = 3(m – 1)x² + 4(m + 1)x – 1

               y'' = 6(m – 1)x + 4(m + 1).

               y'' = 0 ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\end{array} \right.\).

Để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = −2.

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = - 2\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\2m + 2 = 6m - 6\end{array} \right.\) ⇔ m = 2.

Ta có: y = 2x³ + 6x² – x + 2

          y' = 6x² + 12x – 1

          y'' = 12x + 12

          y'' = 0 ⇔ x = −1.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tọa độ I(−1; 7).

Với y'(−1) = −7, ta có phương trình tiếp tuyến tại I:

y = −7(x + 1) + 7 hay y = −7x.

Ta có: y = −x³ – 3x² + mx + 1

           y' = −3x² – 6x + m

           y'' = −6x – 6;

           y'' = 0 ⇔ x = −1.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tung độ y_I = −m – 1.

I nằm trên trục Ox nên y_I = 0 ⇔ = −m – 1 = 0 ⇔ m = −1.

Khi m = −1, hàm số trở thành y = −x³ – 3x² − x + 1 và y' = −3x² – 6x – 1.

Phương trình y' = 0 có ∆ . 0 nên có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua I(−1; 0), nghĩa là tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

a) y = 3 + \(\frac{1}{x}\)

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Giới hạn của hàm số:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0.

Ta có: y' = \( - \frac{1}{{{x^2}}}\)

           y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) y = 2 – \(\frac{1}{{1 + x}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Giới hạn của hàm số:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

Ta có bảng biến thiên:

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) > 0 với mọi x ≠ −1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Đồ thị hàm số:

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nên giao điểm I có tọa độ I(−1; 2).

b) Ta có: xM = xI – t = −1 – t ⇒ yM = \(\frac{{2{x_M} - 1}}{{{x_M} + 1}}\) = \(\frac{{2\left( { - 1 - t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 - t} \right) + 1}}\)

                xM' = xI + t = −1 + t ⇒ yM' = \(\frac{{2{x_{M'}} - 1}}{{{x_{M'}} + 1}}\) = \(\frac{{2\left( { - 1 + t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 + t} \right) + 1}}\).

Do đó, yM + yM' = \(\frac{{2\left( { - 1 - t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 - t} \right) + 1}}\) + \(\frac{{2\left( { - 1 + t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 + t} \right) + 1}}\) = 4 = 2yI.

Mà xM + xM' = (−1 – t) + (−1 + t) = −2 = 2xI.

Vậy I là trung điểm của MM' hay M và M' đối xứng với nhau qua I.