Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Một bánh xe đạp hình tròn đang quay đều quanh trục. Quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương. Nếu bánh xe quay được 2 vòng và thêm một phần tư vòng nữa theo chiều âm thì góc quay α của bánh xe bằng:

Một chiếc đồng hồ treo tường đang chạy đúng giờ. Xét chuyển động của kim giờ từ vị trí chỉ số 12 đến vị trí chỉ số 3. Số đo bằng radian của góc lượng giác α mà kim giờ đã quét qua trong khoảng thời gian trên bằng:

Một người ngồi trên đu quay Ferris có tâm cách mặt đất 20 m. Khi cabin di chuyển đến vị trí tạo với phương ngang một góc lượng giác \(\alpha = \frac{{2\pi }}{3}\) (tính từ vị trí cân bằng bên phải theo chiều dương), giá trị cosα đại diện cho tỉ lệ khoảng cách hình chiếu của cabin lên phương ngang so với bán kính. Giá trị cosα này bằng:

Một dốc trượt trong công viên giải trí có góc nghiêng so với phương nằm ngang là α. Biết rằng độ cao của đỉnh dốc là 3m và độ dài toàn bộ mặt dốc trượt là 5m. Giá trị lượng giác tanα của góc nghiêng này bằng:

Một cánh tay robot công nghiệp được lập trình quay quanh một trục cố định. Ban đầu cánh tay robot ở vị trí hợp với trục hoành một góc 30°. Sau đó, robot thực hiện một lệnh quay tiếp một góc lượng giác θ sao cho \(\cos \theta = - \frac{1}{2}\) và điểm biểu diễn góc tổng hợp lọt vào góc phần tư thứ III trên mặt phẳng tọa độ. Giá trị của sinθ lúc này bằng:

Một người thợ xây dùng một thước ngắm để đo độ dốc của một mái nhà. Góc tạo bởi mái nhà và phương ngang là α. Thước đo chỉ ra rằng \(\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và vì mái nhà dốc lên nên \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).

Một chiếc tàu thủy khởi hành từ bến cảng, chuyển động thẳng theo hướng Đông-Nam lệch một góc lượng giác α so với hướng Đông vĩ độ (trục Ox). Do tàu đi xuống phía dưới bên phải mặt phẳng tọa độ nên góc lượng giác thỏa mãn \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) và người ta đo được \(\tan \alpha = - \frac{3}{4}\).

Một radar hàng hải quét một mục tiêu là một định vị trên biển. Trên màn hình radar, mục tiêu nằm ở vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác thỏa mãn góc lượng giác α có \(\sin \alpha + \cos \alpha = - \frac{7}{5}\) và góc α lọt vào khoảng \(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Biết rằng hoành độ của điểm M có độ lớn nhỏ hơn tung độ của nó.

Một chiếc xe đạp thể thao có hệ thống truyền động gồm đĩa xích bẹt (gắn với bàn đạp) và líp xe (gắn với bánh xe sau), được kết nối bằng một sợi dây xích. Bán kính của đĩa xích là R₁ = 10 cm và bán kính của líp xe là R₂ = 4 cm. Khi người đi xe đạp đạp bàn đạp về phía trước đĩa xích quay được một góc có số đo \(\alpha = \frac{{4\pi }}{3}\) rad. Do dây xích không co giãn và không bị trượt trên các răng luân chuyển, độ dài quãng đường dịch chuyển của dây xích trên cả đĩa và líp là như nhau.