Bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

4.6 1.1 K lượt thi 23 câu hỏi

Câu 1/23

Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số \[Q\left( t \right) = 2{t^2} + t\], trong đó \[t\] được tính bằng giây (s) và \[Q\] được tính theo Culong \[\left( C \right).\] Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \[t = 4\]s.

Lời giải

Cường độ dòng điện tại thời điểm \[t = 4\]s là \[Q'\left( t \right) = I\left( t \right) = 4t + 1 \Rightarrow t\left( 4 \right) = 17.\]

Câu 2/23

Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = - {t^3} + 6{t^2} + t + 5$trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Lời giải

Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1$.

Nhận xét: $v\left( t \right)$ có đồ thị là một parabol nên trong $5s$ đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng \[13\] tại $t = 2s$.

Câu 3/23

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là $s\left( t \right)$ (km) là hàm phụ thuộc theo biến $t$ (giây) tuân theo biểu thức sau: $s\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}$ (km). Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là $m.{e^n}$ (km/s). Tính $T = m + n$ (Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?

Lời giải

Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}} \Rightarrow v\left( 1 \right) = 2{e^4} + 2{e^4} + 6{e^4} = 10{e^4}$ (km/s)

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = 10 + 4 = 14$

Câu 4/23

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\;$m với vận tốc ban đầu là $24,5\;$(m/s). Trong Vật lý, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}.$ Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Lời giải

Xét hàm số: $h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: \[h'\left( t \right) = - 9,8t + 24,5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\]

Bảng biến thiên:

(Trả lời ngắn) Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5(m/s). Trong Vật lý, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây

Câu 5/23

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật Logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f\left( t \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,$trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'\left( t \right)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$. Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f'\left( t \right)$ lớn nhất.

Đặt $h\left( t \right) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$ có $h'\left( t \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\end{array}$

Ta có bảng biến thiên với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$:

(Trả lời ngắn) Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật Logistic (ảnh 1)

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1,6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Câu 6/23

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}({\rm{con}}),\]trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Lời giải

Xét hàm số $N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\left( {t > 0} \right)$.

Ta có: $N'\left( t \right) = \frac{{100.\left( {100 + {t^2}} \right) - 100t.2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100.\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$.

Khi đó, với $t > 0,\,\,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 100 \Leftrightarrow t = 10$.

Bảng biến thiên của hàm số $N\left( t \right)$ như sau:

(Trả lời ngắn) Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn (ảnh 1)

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy:

Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ hàm số $N\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại $t = 10$.

Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.

Câu 7/23

Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức $V = k\left( {R - r} \right){r^2}{\rm{; }}0 \le r < R,$trong đó $k$ là hằng số, $R$ là bán kính bình thường của khí quản, $r$ là bán kính khí quản khi ho. Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu so với bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Lời giải

Ta có: $V' = 2kRr - 3k{r^2}$. Nhận xét $V' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = 0}\\{r = \frac{{2R}}{3}}\end{array}} \right.$.

Ta có $f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( {\frac{{2R}}{3}} \right) = \frac{{4k{R^3}}}{{27}}$

Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng $\frac{2}{3}$ bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.

Câu 8/23

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Lời giải

Gọi \[x\] là số lần tăng giá 100 nghìn đồng $\left( {x > 0} \right)$. Khi đó, số căn được cho thuê là: $100 - x$ (căn)

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

$\begin{array}{l}\left( {100 - x} \right)\left( {8000000 + 100000x} \right) = 100000\left( {100 - x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100000\left( { - {x^2} + 20x + 8000} \right)\\ = 100000\left[ { - {{\left( {x - 10} \right)}^2} + 8100} \right] \le 810000000,\forall x > 0\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 10$ (thỏa mãn)

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: $8000000 + 100000.10 = 9000000$ (đồng).

Câu 9/23