Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}x-y=\frac{\pi }{3}\\ \cos x-\cos y=-1\end{array}\right.$

$\left(1-m\right){\tan }^{2}x-\frac{2}{\cos x}+1+3m=0$

$\iff \left(1-m\right)\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{2}{\cos x}+1+3m=0$

$\iff \left(1-m\right){\sin }^{2}x-2\cos x+\left(1+3m\right){\cos }^{2}x=0$

$\iff \left(1-m\right)\left(1-{\cos }^{2}x\right)-2\cos x+\left(1+3m\right){\cos }^{2}x=0$

$\iff 4m{\cos }^{2}x-2\cos x+1-m=0$

Đặt t = cos x

Vì $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow t\in \left(0;1\right)$ khi đó phương trình trở thành:

$4m{t}^2-2t+1-m=0$ (1)

$\iff m\left(4t^2-1\right)-\left(2t-1\right)=0$

$\iff m\left(2t+1\right)\left(2t-1\right)-\left(2t-1\right)=0$

$\iff \left(2t-1\right)\left(2mt+m-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}t=\frac{1}{2}\in \left(0;1\right)\\ 2mt=1-m\left(2\right)\end{array}\right.$

Để phương trình ban đầu có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc$\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0; 1). Khi đó phương trình (2) có nghiệm thuộc $\left(0;1\right)$\$\left\{\frac{1}{2}\right\}$

Khi m = 0 ta có 0t = 1 (vô nghiệm)

Khi $m\ne 0$ thì $2\iff t=\frac{1-m}{2m}$

Để phương trình (2) có nghiệm thuộc $\left(0;1\right)$\$\left\{\frac{1}{2}\right\}$ thì:

$\left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 0<\frac{1-m}{2m}<1\\ \frac{1-m}{2m}\ne \frac{1}{2}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \frac{1-m}{2m}>0\\ \frac{1-m}{2m}<1\\ 2\left(1-m\right)\ne 2m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \frac{1-m}{2m}>0\\ \frac{1-3m}{2m}<0\\ 4m\ne 2\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 0<m<1\\ \left[\begin{array}{c}m<0\\ m>\frac{1}{3}\end{array}\right.\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{3}<m<1\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C