Câu hỏi:

20/07/2022 1,228

Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình: $\sin^{2} x - m \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x = 2 m$ có nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình lượng giác thường gặp !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trường hợp 1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Khi đó $\sin^{2} x = 1$

Thay vào phương trình ta có:

1 − m.0 − 3.0 = 2m

⇔ 2m = 1

$\Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \notin Z$

⇒ loại

Trường hợp 2: $\cos x \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta được:

$\frac{s i n^{2} x}{\cos^{2} x} - m \frac{\sin x}{\cos x} - 3 = \frac{2 m}{\cos^{2} x}$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x - m \tan x - 3 = 2 m (1 + \tan^{2} x)$

$\Leftrightarrow (2 m - 1) \tan^{2} x + m \tan x + 2 m + 3 = 0$

Đặt tanx = t khi đó phương trình có dạng:

$(2 m - 1) t^{2} + m t + 2 m + 3 = 0$

$m = \frac{1}{2} \notin Z \Rightarrow$ Loại

$m \neq \frac{1}{2}$ ta có:

$Δ = m^{2} - 4 (2 m - 1) (2 m + 3)$

$= m^{2} - 16 m^{2} - 16 m + 12$

$= - 15 m^{2} - 16 m + 12$

Để phương trình có nghiệm thì: $Δ \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{- 8 - 2 \sqrt{61}}{15} \leq m \leq \frac{- 8 + 2 \sqrt{61}}{15}$

Mà $m \in Z \Rightarrow \{\begin{matrix} m = - 1 \\ m = 0 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gọi m, M lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số $y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + \cos x + 2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức m + M bằng

A. $\frac{24}{5}$

B. $\frac{28}{5}$

C. 5

D. $\frac{25}{8}$

Lời giải

Ta có: $y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + \cos x + 2}$

⇔ y(sinx + cosx + 2) = sinx + 3

⇔y.cosx + (y − 1).sinx = 3 − 2y
Phương trình trên có nghiệm

⇔ y²+ (y − 1)²≥ (3 − 2y)²

⇔ 2y²− 2y + 1 ≥ 9 − 12y + 4y²

⇔ 2y²− 10y + 8 ≤ 0

⇔ 1 ≤ y ≤ 4

=> Min y = 1, Max y = 4

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Với giá trị nào của m thì phương trình $(1 - m) \tan^{2} x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$ có nhiều hơn 1 nghiệm trên $(0; \frac{π}{2})$ ?

A. $m \neq \frac{1}{2}$

B. $m = \frac{1}{2}$

C. $\{\begin{matrix} \frac{1}{3} < m < 1 \\ m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

D. $\frac{1}{3} < m < 1$

Lời giải

$(1 - m) \tan^{2} x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) \sin^{2} x - 2 \cos x + (1 + 3 m) \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) (1 - \cos^{2} x) - 2 \cos x + (1 + 3 m) \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow 4 m \cos^{2} x - 2 \cos x + 1 - m = 0$

Đặt t = cos x

Vì $(0; \frac{π}{2}) \Rightarrow t \in (0; 1)$ khi đó phương trình trở thành:

$4 m t^{2} - 2 t + 1 - m = 0$ (1)

$\Leftrightarrow m (4 t^{2} - 1) - (2 t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m (2 t + 1) (2 t - 1) - (2 t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2 t - 1) (2 m t + m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{1}{2} \in (0; 1) \\ 2 m t = 1 - m (2) \end{matrix}$

Để phương trình ban đầu có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc $(0; \frac{π}{2})$ thì phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0; 1). Khi đó phương trình (2) có nghiệm thuộc $(0; 1)$ \ $\{\frac{1}{2}\}$

Khi m = 0 ta có 0t = 1 (vô nghiệm)

Khi $m \neq 0$ thì $2 \Leftrightarrow t = \frac{1 - m}{2 m}$

Để phương trình (2) có nghiệm thuộc $(0; 1)$ \ $\{\frac{1}{2}\}$ thì:

$\{\begin{matrix} m \neq 0 \\ 0 < \frac{1 - m}{2 m} < 1 \\ \frac{1 - m}{2 m} \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ \frac{1 - m}{2 m} > 0 \\ \frac{1 - m}{2 m} < 1 \\ 2 (1 - m) \neq 2 m \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ \frac{1 - m}{2 m} > 0 \\ \frac{1 - 3 m}{2 m} < 0 \\ 4 m \neq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ 0 < m < 1 \\ [\begin{matrix} m < 0 \\ m > \frac{1}{3} \end{matrix} \\ m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1}{3} < m < 1 \\ m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Phương trình $\frac{\cos 2 x}{1 - \sin 2 x} = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

C. $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π (k \in Z)$

D. $x = \frac{3 π}{4} + k π (k \in Z)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x = \sin x - \cos x$ có nghiệm là:

A. $x = k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$

D. Tất cả đều đúng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giải phương trình $8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$

A. $x = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}; x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{4} (k \in Z)$

C. $x = \pm \frac{π}{6} + k π; x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{6} + k π; x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của m để phương trình $\tan x + \cot x = m$ có nghiệm $x \in (0; \frac{π}{2})$ có tổng là:

A. 9

B. 3

C. 6

D. 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Giải phương trình $(\sin x + \sqrt{3} \cos x) . \sin 3 x = 2$

A. $x = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

B. $x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

C. $x = \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z$

D. $x = \frac{k π}{12}; x = \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình: $\sin^{2} x - m \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x = 2 m$ có nghiệm?

Gọi m, M lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số $y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + \cos x + 2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức m + M bằng

Với giá trị nào của m thì phương trình $(1 - m) \tan^{2} x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$ có nhiều hơn 1 nghiệm trên $(0; \frac{π}{2})$ ?

Phương trình $\frac{\cos 2 x}{1 - \sin 2 x} = 0$ có nghiệm là:

Phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x = \sin x - \cos x$ có nghiệm là:

Giải phương trình $8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$

Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của m để phương trình $\tan x + \cot x = m$ có nghiệm $x \in (0; \frac{π}{2})$ có tổng là:

Giải phương trình $(\sin x + \sqrt{3} \cos x) . \sin 3 x = 2$