Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Nguyễn Hữu Cảnh (TP.HCM) năm 2023-2024 (có đáp án)

a) Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{4}{5}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \cos x =  - \frac{4}{5}\).

Ta có: \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} + \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}\).

b) \(VT = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} + \frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\sin x}} = \frac{{2 + 2\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\sin x}}{\rm{ = }}\frac{2}{{\sin x}} = VP\)

a) Ta có:

                     \(\begin{array}{l} - 1 \le \cos 2x \le 1\\ \Leftrightarrow  - 3 \le 3\cos 2x \le 3\\ \Leftrightarrow 2 \le 3\cos 2x + 5 \le 8\\ \Leftrightarrow 2 \le y \le 8\end{array}\)

Vậy tập giá trị của hàm số: \(T = \left[ {2;8} \right]\).

b) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}2x \ne 0\\\sin x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

a)

 \[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi  \vee x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]

b) \[\sin (\frac{\pi }{3} + 3x) = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} + 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{3} + 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Lúc \(12\) giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số \(12\). Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng mà hai kim vẫn chưa gặp nhau.

Hiệu vận tốc của hai kim là: \(1 - \frac{1}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}\)(vòng đồng hồ/giờ).

Kể từ lúc \(1\) giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là: \(\frac{1}{{12}} \div \frac{{11}}{{12}} = \frac{1}{{11}}\)(giờ).

Kể từ lúc \(12\) giờ, thời gian để hai kim chập nhau lần đầu tiên là: \(1 + \frac{1}{{11}} = \frac{{12}}{{11}}\)(giờ).

Trong \(1\) giờ kim phút quay được một vòng\( \Rightarrow \) Kim phút quay được \(2\pi \left( {radian} \right)\).

Trong \(\frac{{12}}{{11}}\) giờ kim phút quay được là: \(\frac{{12}}{{11}} \times 2\pi  = \frac{{24\pi }}{{11}}\left( {radian} \right)\).

Do cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm\( \Rightarrow \) Kim phút quay được là: \( - \frac{{24\pi }}{{11}}\left( {radian} \right)\).

Ta có : \[{u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 3}} = \frac{{2n + 3}}{{n + 4}}\]

\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 3}}{{n + 4}} - \frac{{2n + 1}}{{n + 3}} = \frac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 4} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{5}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]

Vậy \(({u_n})\)là dãy số tăng.

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 18\\{u_2} + {u_7} = 22\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 5d = 18\\{u_1} + d + {u_1} + 6d = 22\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 5d = 18\\2{u_1} + 7d = 22\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = 2\end{array} \right.\end{array}\]