Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT An Lạc (TP.HCM) năm 2025-2026 (có đáp án)

Hình chóp \(S.ABCDE\) có đáy là một ngũ giác \(ABCDE\) (1 mặt đáy). Từ đỉnh \(S\) nối với 5 đỉnh của đáy tạo thành 5 mặt bên (gồm các tam giác \(SAB,SBC,SCD,SDE,SEA\)).

Tổng số mặt là: 6.

Chọn đáp án: D. 6.

Ta sử dụng công thức cộng: \({\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b + {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\). Cần tìm \({\rm{cos}}a\) và \({\rm{sin}}b\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \({\rm{cos}}a < 0\): \({\rm{cos}}a = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}\).

Vì \(0 < b < \frac{\pi }{2}\) nên \({\rm{sin}}b > 0\): \({\rm{sin}}b = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \frac{4}{5}\).

Thay vào công thức cộng: \({\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = \left( {\frac{5}{{13}}} \right)\left( {\frac{3}{5}} \right) + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right) = \frac{{15}}{{65}} - \frac{{48}}{{65}} = \frac{{ - 33}}{{65}}\).

Chọn đáp án: A. \(\frac{{ - 33}}{{65}}\).

Ta có \(2{\rm{sin}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\x&{ = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).

Tính toán số nghiệm: Ta tìm số giá trị nguyên \(k\) sao cho nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]\).

Họ nghiệm 1: \( - \frac{{3\pi }}{2} \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{61}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\) (6 nghiệm).

Họ nghiệm 2: \( - \frac{{3\pi }}{2} \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{4}{3} \le k \le \frac{{53}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\) (6 nghiệm).

Tổng số nghiệm trên đoạn là: \(6 + 6 = 12\) nghiệm.

Chọn đáp án: A. 12.

Vì \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ IV \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi } \right)\) nên \({\rm{sin}}\alpha < 0\).

\({\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{21}}{{25}}} = - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).

Chọn đáp án: D. \( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).

\(\sqrt 3 + 3{\rm{tan}}x = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{tan}}x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{tan}}x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\({\rm{tan}}x = {\rm{tan}}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án: B. \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \({\rm{cos}}A + {\rm{cos}}B = 2{\rm{cos}}\frac{{A + B}}{2}{\rm{cos}}\frac{{A - B}}{2}\).

\(P = 2{\rm{cos}}\left( {\frac{{x + \frac{\pi }{6} + x - \frac{\pi }{6}}}{2}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{x + \frac{\pi }{6} - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)}}{2}} \right) = 2{\rm{cos}}x \cdot {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)

\(P = 2{\rm{cos}}x \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 {\rm{cos}}x\)

Do đó, \(m = \sqrt 3 \approx 1,732\). Nhận thấy \(1,732 \in \left[ {1;2} \right]\).

Chọn đáp án: C. \(m \in \left[ {1;2} \right]\).

Các khẳng định A, B, D đều là các công thức biến đổi lượng giác cơ bản hoàn toàn đúng.

Xét khẳng định C: Theo công thức nhân đôi, \({\rm{cos}}x = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{x}{2}\). Tuy nhiên ở phương án D lại viết là \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{x}{2} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = - {\rm{cos}}x\) nên khẳng định này bị Sai.

Chọn đáp án: C.

Hai góc lượng giác có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi và chỉ khi chúng hơn kém nhau một bội nguyên của \(2\pi \).

Ta tách góc ban đầu: \(\frac{{15\pi }}{7} = \frac{{\pi + 14\pi }}{7} = \frac{\pi }{7} + 2\pi \).

Vì hai góc hơn kém nhau đúng \(2\pi \) nên điểm biểu diễn của góc \(\frac{{15\pi }}{7}\) trùng hoàn toàn với điểm biểu diễn của góc \(\frac{\pi }{7}\).

Chọn đáp án: C. \(\frac{\pi }{7}\).