Bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/20

Bảng 9 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2021 tại Hà Nội (đơn vị: độ C)

Phương sai của mẫu số liệu đó bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó là:

$\overline x = \frac{{2.18,3 + 3.21,3 + 2.24,3 + 1.27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 24,8\left( {^\circ C} \right)$.

Phương sai của mẫu số liệu đó là

${s^2} = \frac{{2{{\left( {18,3 - 24,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 24,8} \right)}^2} + 2{{\left( {24,3 - 24,8} \right)}^2} + {{\left( {27,3 - 24,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 24,8} \right)}^2}}}{{12}} \simeq 20,8$

Câu 2/20

Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả các phép tính làm tròn đến hàng phần trăm.)

Lời giải

Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[\bar x = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{50}} = 8,72\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

S2 = \[\frac{1}{{50}}\] (6 . 52 + 12 . 72 + 19 . 92 + 9 . 112 + 4 . 132) – 8,722 ≈ 4,80.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[S \approx \sqrt {4,80} \approx 2,19\]

Câu 3/20

Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau trong các năm từ 2002 đến 2021 được thống kê như sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{\bar x_2} = \frac{{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}}{{20}} = 124,1\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

S22 = \[\frac{1}{{20}}\] (3 . 892 + 6 . 1072 + 3 . 1252 + 5 . 1432 + 3 . 1612) – 124,12 = 566,19.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{S_2} \approx \sqrt {566,19} \approx 23,795\]

Câu 4/20

Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu A và B trong 50 ngày giao dịch liên tiếp.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện:

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{\bar x_1} = \frac{{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}}{{50}} = 125,28\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[S_1^2\] = \[\frac{1}{{50}}\] (8 . 1212 + 9 . 1232 + 12 . 1252 + 10 . 1272 + 11 . 1292) – (125,28)2 = 7,5216.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{S_1} = \sqrt {S_1^2} = \sqrt {7,5216} \]

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{\bar x_2} = \frac{{16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129}}{{50}} = 125,28\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[S_2^2\]=\[\frac{1}{{50}}\] (16 . 1212 + 4 . 1232 + 3 . 1252 + 6 . 1272 + 21 . 1292) – (125,48)2 = 12,4096.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{S_2} = \sqrt {S_2^2} = \sqrt {12,4096} \]

Câu 5/20

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

(Trả lời ngắn) Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên. (ảnh 1)

Cỡ mẫu: ${\rm{n}} = 100$

Số trung bình: $\bar x = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{13.19,25}^2} + {{45.19,75}^2} + {{24.20,25}^2} + {{12.20,75}^2} + {{6.21,25}^2}}}{{100}} - {20,015^2} \approx 0,28$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {0,28} \approx 0,53$

Câu 6/20

Một siêu thị thống kê số tiền ( đơn vị: Chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong bảng bên. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$\bar{x} = \frac{4 \cdot 42,5 + 14 \cdot 47,5 + 8 \cdot 52,5 + 10 \cdot 57,5 + 6 \cdot 62,5 + 2 \cdot 67,5}{44} = \frac{2340}{44} \approx 53,2 (chục nghìn đồng)$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng là:

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{44}} \cdot \left[ {4 \cdot {{(42,5 - 53,2)}^2} + 14 \cdot {{(47,5 - 53,2)}^2} + 8 \cdot {{(52,5 - 53,2)}^2} + 10 \cdot {{(57,5 - 53,2)}^2}} \right.\\{\rm{ }}\left. { + 6 \cdot {{(62,5 - 53,2)}^2} + 2 \cdot {{(67,5 - 53,2)}^2}} \right] = \frac{{2029,56}}{{44}} \approx 46,1\end{array}\]

Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: $s \approx \sqrt {46,1} \approx 6,8$ (chục nghìn đồng).

Câu 7/20

Bảng 19, Bảng 20 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty A, B (đơn vị: triệu đồng).

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty A, B.

Lời giải

- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ${\rm{A}}$ được cho bởi Bảng 19 là:

${\bar x_A} = \frac{{15 \cdot 12,5 + 18 \cdot 17,5 + 10 \cdot 22,5 + 10 \cdot 27,5 + 5 \cdot 32,5 + 2 \cdot 37,5}}{{60}} = \frac{{1240}}{{60}} \approx 20,67{\rm{ }}$(triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ${\rm{A}}$ được cho bởi Bảng 19 là:

\[\begin{array}{l}s_A^2 = \frac{1}{{60}} \cdot \left[ {15 \cdot {{(12,5 - 20,67)}^2} + 18 \cdot {{(17,5 - 20,67)}^2} + 10 \cdot {{(22,5 - 20,67)}^2}} \right.\\\left. { + 10 \cdot {{(27,5 - 20,67)}^2} + 5 \cdot {{(32,5 - 20,67)}^2} + 2 \cdot {{(37,5 - 20,67)}^2}} \right] = \frac{{2948,334}}{{60}} \approx 49,14\end{array}\]

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_A} \approx \sqrt {49,14} \approx 7,01$ (triệu đồng).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ${\rm{B}}$ được cho bởi Bảng 20 là:

${\bar x_B} = \frac{{25 \cdot 12,5 + 15 \cdot 17,5 + 7 \cdot 22,5 + 5 \cdot 27,5 + 5 \cdot 32,5 + 3 \cdot 37,5}}{{60}} = \frac{{1047,5}}{{60}} \approx 17,46$(triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ${\rm{B}}$ được cho bới Bảng 20 là:

$\begin{array}{l}s_B^2 = \frac{1}{{60}} \cdot \left[ {25 \cdot {{(12,5 - 17,46)}^2} + 15 \cdot {{(17,5 - 17,46)}^2} + 7 \cdot {{(22,5 - 17,46)}^2}} \right.\\\left. {{\rm{ }} + 5 \cdot {{(27,5 - 17,46)}^2} + 5 \cdot {{(32,5 - 17,46)}^2} + 3 \cdot {{(37,5 - 17,46)}^2}} \right] = \frac{{3632,696}}{{60}} \approx 60,54\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_B} \approx \sqrt {60,54} \approx 7,78$ (triệu đồng).

Câu 8/20

Cho bảng số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó

Lời giải

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\bar x = \frac{{25 \cdot 25 + 20 \cdot 35 + 20 \cdot 45 + 15 \cdot 55 + 14 \cdot 65 + 6 \cdot 75}}{{100}} = \frac{{4410}}{{100}} \approx 44$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{100}} \cdot \left[ {25 \cdot {{(25 - 44)}^2} + 20 \cdot {{(35 - 44)}^2} + 20 \cdot {{(45 - 44)}^2}} \right.\left. { + 15 \cdot {{(55 - 44)}^2} + 14 \cdot {{(65 - 44)}^2} + 6 \cdot {{(75 - 44)}^2}} \right]\\{\rm{ }} = \frac{{24420}}{{100}} = 244,2\end{array}$Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: $s = \sqrt {244,2} \approx 15,6$.

Câu 9/20