Bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 (có lời giải)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = x² + 1, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

Cho vật thể (T) được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = −2; x = 2. Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, x [−2; 2] là một hình vuông có cạnh bằng \(\sqrt {4 - {x^2}} \). Thể tích của vật thể (T) bằng

Tính thể tích V của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một ta giác đều cạnh \(2\sqrt {\sin x} \).

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x bất kì (1 ≤ x ≤ 4) thì được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^3x, y = 0, x = 0 và x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = x² – 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x² + 6; y = 0; x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Xét trong không gian Oxyz, tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {x - 1} \), trục hoành, x = 2 và x = 5 quanh trục Ox bằng

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x .{e^{{x^2}}}\), trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục hoành

Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quanh trục hoành có thể tích là

Một vật thể có kích thước giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4. Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (\(1 \le x \le 4\)) là một hình vuông có độ dài cạnh là x. Thể tích của vật thể đó bằng

Cho khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^{x - 1}}\), trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 2 quanh trục Ox. Thể tích của khối này là

Một kĩ sư thiết kế một mái vòm có phần không gian nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = $\mathrm{\pi }$. Cắt không gian này bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ $\mathrm{\pi }$), thiết diện thu được là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng \(\sqrt {\sin x} \). Thể tích của không gian mái vòm này bằng

Xét khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \(x = \frac{\pi }{2}\) quanh trục Ox. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Xét một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1. Biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (\( - 1 \le x \le 1\)) là một hình bán nguyệt có đường kính bằng \(2\sqrt {1 - {x^2}} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?