$S = \int\limits_2^{25} { - \frac{1}{{800}}\left( {{x^3} - 33{x^2} + 120x - 400} \right){\rm{d}}x} \approx 57,6{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Câu 2/31

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp của kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao $8\left( {\rm{m}} \right)$ và rộng $8\left( {\rm{m}} \right)$ (như hình vẽ)

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp của kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao (ảnh 2)

Với hệ trục đã chọn, Parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có đỉnh $A\left( {0\,;\,8} \right)$ và đi qua điểm $B\left( { - 4\,;\,0} \right)$, $C\left( {4\,;\,0} \right)$ nên có phương trình: $y = - \frac{1}{2}{x^2} + 8$.

Diện tích $S$ mặt kính cần lắp là diện tích của hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $\left( P \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = - 4;{\rm{ }}x = 4$.

Do đó:$S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right){\rm{d}}x} = \frac{{128}}{3}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Câu 3/31

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông $OABC$ như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có $O\left( {0\,;\,0} \right)$, $A\left( {0\,;\,1} \right)$, $B\left( {1\,;\,1} \right)$, $C\left( {1\,;\,0} \right)$ và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số $y = {x^3}$ và $y = \sqrt[3]{x}$. Tính diện tích của phần không được tô đậm trên viên gạch men.

Lời giải

Diện tích hình vuông có cạnh bằng $1$ là $S = {1^2} = 1$.

Gọi ${S_1}$ là diện tích phần tô đậm.

s_{1} = (\sqrt[3]{x} - x^{3}) d x = (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{x^{4}}{4}) |\frac{1}{0}| = \frac{1}{2}

Vậy diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men bằng $S - {S_1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Câu 4/31

Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là \[900.000\] đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng

Lời giải

Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác (ảnh 2)

Diện tích phần hình chữ nhật $ABCD$ là ${S_1} = 2.4 = 8\,{m^2}$. Xét phần diện tích giới hạn bởi parabol và đoạn $AB$

Dựng hệ tọa độ \[Oxy\] với $O$ là trung điểm của đoạn $AB$, đỉnh $I$ của parabol nằm trên tia $Oy$, khi đó ta có $I\left( {0;1} \right)$, $A\left( { - 1;0} \right)$, $B\left( {1;0} \right)$.

Parabol có trục đối xứng $Oy$ và cắt $Oy$ tại $I\left( {0;1} \right)$ nên có phương trình dạng: $y = a{x^2} + 1,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Parabol qua $B\left( {1;0} \right)$ nên ta có phương trình : $a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 1$.

Do đó phương trình của parabol là: $y = - {x^2} + 1$.

Diện tích phần giới hạn bởi parabol với đoạn $AB$ là:

${S_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.

Diện tích toàn bộ phần cánh cửa là $S = {S_1} + {S_2} = 8 + \frac{4}{3} = \frac{{28}}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.

Số tiền ông An phải trả bằng $\frac{{28}}{3}.900000 = 8400000$ (đồng).

Câu 5/31

Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, một họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệm thủy sản. Logo giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho như hình bên (đơn vị trên trục tọa độ là decimet)

a) Lập phương trình parabol y = f(x) và y = g(x).

b) Tính diện tích của logo

c) Logo chỉ cho phép 50% ánh sáng đi qua nó. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Lời giải

a) Giả sử parabol $y = f(x)$ cho bời $f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$. Do parabol $y = f(x)$ đi qua điểm $D(0;2)$ nên $c = 2$, suy ra $f(x) = a{x^2} + bx + 2(a \ne 0)$. Vì parabol $y = f(x)$ đi qua các điểm $C( - 4;0),E(4;0)$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16a - 4b + 2 = 0}\\{16a + 4b + 2 = 0.}\end{array}} \right.$

Hệ phương trình trên có nghiệm là $a = - \frac{1}{8},b = 0$. Vậy $f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2$.

- Giả sử parabol $y = g(x)$ cho bởi $g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\left( {{a_1} \ne 0} \right)$. Do parabol $y = g(x)$ đi qua điểm $G(0; - 3)$ nên ${c_1} = - 3$, suy ra $g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x - 3\left( {{a_1} \ne 0} \right)$. Vì parabol $y = g(x)$ đi qua các điểm $C( - 4;0),E(4;0)$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16{a_1} - 4{b_1} - 3 = 0}\\{16{a_1} + 4{b_1} - 3 = 0.}\end{array}} \right.$

Hệ phương trình trên có nghiệm là ${a_1} = \frac{3}{{16}},{b_1} = 0$. Vậy $g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3$.

b) Diện tích của logo là: $S = {S_1} + {S_2}$, trong đó ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol $f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3$ và hai đường thẳng $x = - 5,x = - 4$; ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol $f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3$ và hai đường thẳng $x = - 4,x = 4$.

Do đó, ta có:

$S = \int_{ - 5}^{ - 4} | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x$

$ = \int_{ - 5}^{ - 4} {\left[ {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) - \left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right)} \right]} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left[ {\left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right)} \right]} {\rm{d}}x$

$ = \int_{ - 5}^4 {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)} {\rm{d}}x$

$ = \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {5x} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 4}^4 + \left. {5x} \right|_{ - 4}^4$

$ = \frac{{305}}{{48}} - 5 - \frac{{640}}{{48}} + 40 = \frac{{1345}}{{48}}.$

$S = \frac{{1345}}{{48}}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

c) Gọi $t$ là lượng ánh sáng đi qua mỗi $\mathrm{dm}^2$ của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là $\frac{{1345}}{{48}}t$. Mặt khác, diện tích của cửa sổ là $(8 + 1) \cdot (2 + 3) = 45\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ và lượng ánh sáng đi qua mỗi ${\rm{d}}{{\rm{m}}^2}$ của phần cửa sổ nằm ngoài logo là 2t. Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là $45.2t = 90t$ và lượng ánh sáng đi qua phẩn cửa sổ nằm ngoài logo là: $\left( {45 - \frac{{1345}}{{48}}} \right)2t = \frac{{815}}{{24}}t$

Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là: $\frac{{1345}}{{48}}t + \frac{{815}}{{24}}t = \frac{{2975}}{{48}}t.$

Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so vởi lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là: $\left( {\frac{{2975}}{{48}}t:90t} \right) \cdot 100\% = \frac{{297500}}{{4320}}\% \approx 68,9\% {\rm{. }}$

Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100% - 68,9% = 31,1%

Câu 6/31

Cô Hạnh đổ bê tông một con đường đi trong vườn (Phần được tô màu) với kích thước được cho như hình bên. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đỏ lớp bê tông dày 15 cm và giá tiền 1 m3 bê tông là 1080000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó.

Lời giải

\[V = \int\limits_0^{10} {S(x)dx} {\rm{ = }}\int\limits_0^{10} {2.0,15dx} = 3{\rm{ }}({m^3})\]. Vậy số tiền cô Hạnh cần dùng là: 1 080 000.3 = 3 240 000

Câu 7/31

Một chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà như hình bên, bạ Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f(x) = 0,14{x^3} - 0,87{x^2} + 1,92x + 0,85\], trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox ( đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn đến hàng đơn vị của centimet khối)

Lời giải

Ta có: $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {0,14{x^3} - 0,87{x^2} + 1,92x + 0,85} \right)}^2}dx \approx 42} {\rm{ }}(c{m^3})$

Câu 8/31

Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

Lời giải

Xét hình phẳng (H) (hình vẽ). Thể tích khối được giới hạn bởi bề mặt của trống là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành.

Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào? (ảnh 2)

Gọi phương trình Parabol đi qua 3 điểm A, B, C là $(P):{\rm{ }}y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)$

Thay tọa độ các điểm $A\left( {0;0,5} \right),B\left( { - 0,5;0,35} \right),C\left( {0,5;0,35} \right)$ vào phương trình của $(P)$ ta được

$\left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\0,25a - 0,5b + c = 0,35\\0,25a + 0,5b + c = 0,35\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 0,6\\b = 0\\c = 0,5\end{array} \right. \Rightarrow (P):y = - 0,6{x^2} + 0,5$

Thể tích cần tìm $V = \pi \int\limits_{ - 0,5}^{0,5} {{{\left( { - 0,6{x^2} + 0,5} \right)}^2}dx = \frac{{409\pi }}{{2000}}} {\rm{ }}({m^3})$.

Câu 9/31