Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải)

Năng lượng gió trên đất liền là một trong những công nghệ năng lượng tái tạo đang được phát triển ở quy mô toàn cầu. năng lượng gió không trực tiếp phát thải khí nhà kính, không thải ra môi trường các chất gây ô nhiễm khác, cũng không tiêu thụ nước để làm mát cho các nhà máy. Các turbine gió thường có ba cánh quay trên trục ngang, lấy động năng từ quá trình di chuyển của dòng không khí (gió) để chuyển đổi thành điện năng thông qua một máy phát điện được kết nối với lưới điện. Hình thang cong mô tả một phần mặt cắt đứng của cánh turbine, được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2; x = 25, trục Ox và đồ thị hàm số \[y = f(x) =  - \frac{1}{{800}}\left( {{x^3} - 33{x^2} + 120x - 400} \right)\]. Hãy tính diện tích phần hình thang cong đó

  Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp của kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao \(8\left( {\rm{m}} \right)\) và rộng \(8\left( {\rm{m}} \right)\) (như hình vẽ)

  Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( {0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,1} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1} \right)\), \(C\left( {1\,;\,0} \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\). Tính diện tích của phần không được tô đậm trên viên gạch men.

   Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là \[900.000\] đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng

 Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, một họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệm thủy sản. Logo giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho như hình bên (đơn vị trên trục tọa độ là decimet)

Cô Hạnh đổ bê tông một con đường đi trong vườn (Phần được tô màu) với kích thước được cho như hình bên. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đỏ lớp bê tông dày 15 cm và giá tiền 1 m3 bê tông là 1080000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó.

Một chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà như hình bên, bạ Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f(x) = 0,14{x^3} - 0,87{x^2} + 1,92x + 0,85\], trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox ( đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn đến hàng đơn vị của centimet khối)

 Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

 Tốc độ chuyển động v (m/s) của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là bao nhiêu?

  Một vật chuyển động với tốc độ \(v(t) = 3t + 4\) \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\), với thời gian t tính theo giây, \({\rm{t}} \in [0;5]\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \({\rm{t}} = 0\) đến \({\rm{t}} = 5\).

  Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ vo \( = 1\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \({\rm{a}} = 3\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\). Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao 100 m , một vật rơi xuống với tốc độ \({\rm{v}}({\rm{t}}) = 10{\rm{t}}({\rm{m}}/{\rm{s}})\), trong đó t là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.

a) Tính quãng đường \(s(t)\) vật di chuyển được sau thời gian \(t\) giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).

b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.

Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức \({{\rm{P}}^\prime }({\rm{t}}) = 20.{(1,106)^{\rm{t}}}\) với \(0 \le {\rm{t}} \le 7\), trong đó t là thời gian tính theo năm và $t=0$ ứng với đầu năm \(2015,{\rm{P}}({\rm{t}})\) là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.

a) Tính dân số của thành phố ở thời điếm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).

b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đằu năm 2015 đến đằu năm 2020 .

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình bên

Người ta  dự định lắp kính cho cửa một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng mái vòm cao 21 m và rộng 70 m

Hình bên minh họa cho mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình \[y = f(x) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\]. Hãy tính diện tích hình phẳng tô màu xanh trong hình bên, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình vẽ. Tính diện tích của cửa hầm.

Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích của khung cửa.

Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao \(x({\rm{dm}})(0 \le x \le 4)\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} ({\rm{dm}})\). Tính dung tích của bình.