Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/22

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 1$, $y = {x^4} + x - 1$, $x = - 1,x = 1$.

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{4}{{15}}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 1$, $y = {x^4} + x - 1$, $x = - 1,x = 1$ là

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x + \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x$

$ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - {x^4}} \right){\rm{d}}} x} \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - {x^4}} \right){\rm{d}}} x} \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}0\\ - 1\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.} \right| = \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{4}{{15}}$.

Câu 2/22

Kí hiệu \[S\left( t \right)\] là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 2x + 1\], \[y = 0\], \[x = 1\], \[x = t\]\[\left( {t > 1} \right)\]. Tìm \[t\] để \[S\left( t \right) = 10\].

Trả lời: ………………..

Lời giải

\[t = 3\]

Ta có: \[S\left( t \right) = \int\limits_1^t {\left| {2x + 1} \right|} {\rm{ d}}x = \int\limits_1^t {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{ d}}x\].

Suy ra \[S\left( t \right) = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^t = {t^2} + t - 2\].

Do đó \[S\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 10 \Leftrightarrow {t^2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 4{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.\].

Vậy \[t = 3\].

Câu 3/22

Giá trị dương của tham số $m$ sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 2x + 3$ và các đường thẳng $y = 0,\,x = 0\,,\,x = m$ bằng $10$ là bao nhiêu?

Trả lời: ………………..

Lời giải

$m = 2$

Vì $m > 0$ nên $2x + 3 > 0,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,m} \right]$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 3$ và các đường thẳng $y = 0,\,x = 0\,,\,x = m$ là:

$S = \int\limits_0^m {\left( {2x + 3} \right).{\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^m = {m^2} + 3m$.

Theo giả thiết ta có:

$S = 10 \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 10 \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 5\,\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,m > 0} \right)$.

Câu 4/22

Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $\left( C \right)$ có phương trình $y = \frac{1}{4}\,{x^2}$. Gọi ${S_1}\,,\,\,{S_2}$ lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2$

Ta có diện tích hình vuông $OABC$ là $16$ và bằng ${S_1}\, + \,{S_2}$.

${S_2} = \,\,\int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}{\rm{d}}x} \,\, = \,\left. {\,\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4\, = \,\,\frac{{16}}{3}$\[\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - {S_2}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - \frac{{16}}{3}}}{{\frac{{16}}{3}}}\,\,\, = \,\,\,2\]

Câu 5/22

Cho hình thang cong \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = \ln 4\]. Đường thẳng \[x = k\] \[\left( {0 < k < \ln 4} \right)\] chia \[\left( H \right)\] thành hai phần có diện tích là \[{S_1}\] và \[{S_2}\] như hình vẽ bên. Tìm \[k\] để \[{S_1} = 2{S_2}\].

Trả lời: ………………..

Lời giải

\[k = \ln 3\]

Diện tích hình thang cong \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = \ln 4\] là

\[S = \int\limits_0^{\ln 4} {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^{\ln 4} = \]\[{{\rm{e}}^{\ln 4}} - {{\rm{e}}^0} = 4 - 1 = 3\](đvdt).

Ta có \[S = {S_1} + {S_2} = {S_1} + \frac{1}{2}{S_1} = \frac{3}{2}{S_1}\]. Suy ra \[{S_1} = \frac{{2S}}{3} = \frac{{2.3}}{3} = 2\] (đvdt).

Vì \[{S_1}\] là phần diện tích được giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = k\] nên

\[2 = {S_1} = \int\limits_0^k {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^k = \]\[{{\rm{e}}^k} - {{\rm{e}}^0} = {{\rm{e}}^k} - 1\].

Do đó \[{{\rm{e}}^k} = 3 \Leftrightarrow k = \ln 3\].

Câu 6/22

Cắt một vật thể $\left( T \right)$ bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại $x = 0$ và $x = 2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ $x\left( {0 \le x \le 2} \right)$ cắt vật thể đó có diện tích diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt {{x^3}} $. Tính thể tích vật thể $\left( T \right)$.

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{{128}}{7}$

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = \sqrt {{x^3}} .\sqrt {{x^3}} = {x^6}$.

Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V = \int\limits_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int\limits_0^2 {{x^6}} dx = \frac{{128}}{7}$.

Câu 7/22

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại $x = 1\,;\,x = 3$. Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \le x \le 3$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc ${45^0}$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} $. Tính thể tích vật thể trên.

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{{11}}{6}$

Diện tích tam giác vuông cân là: $S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} .\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {4 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)$

$ \Rightarrow $ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\left( {4 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = \frac{{11}}{6}} $

Câu 8/22

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ xác định bởi các đường $y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 3$ quanh trục \[Ox\].

Trả lời: ………………..

Lời giải

$V = \frac{{81\pi }}{{35}}$

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục \[Ox\] là :

$V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\frac{1}{9}{x^6} - \frac{2}{3}{x^5} + {x^4}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : $V = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

Câu 9/22