Bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/12

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc \[(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D\prime } ),{\rm{ }}(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C\prime } ).\]

Lời giải

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc (AB, A'D'), (AB, A'C') (ảnh 1)

Ta có \[\overrightarrow {AD} \; = \overrightarrow {A'D'} \], suy ra \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {DAB} = {90^ \circ }\].

Ta có \[\overrightarrow {A'C'} \; = \overrightarrow {AC} \], suy ra \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {CAB} = {45^ \circ }\]

Câu 2/12

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc\[(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ),{\rm{ }}(\overrightarrow {A\prime A} ,\overrightarrow {CB\prime } )\].

Lời giải

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc (AC, B'D'); (A'A, CB') (ảnh 1)

Vì $A{A^\prime }//C{C^\prime }$ và $A{A^\prime } = C{C^\prime }$ nên $A{A^\prime }{C^\prime }C$ là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} $.

Vì AA'B'B là hình vuông nên $\overrightarrow {{A^\prime }A} = \overrightarrow {{B^\prime }B} $.

Do đó $(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = (\vec{B^{'} B}, \vec{C B^{'}}) = 180^{°} - B B^{'} C = 180^{°} - 45^{°} = 135^{°}$

(Vì $B{B^\prime }{C^\prime }C$ là hình vuông nên ${B^\prime }C$ là phân giác của $B{B^\prime }{C^\prime }$ ).

Câu 3/12

Trong không gian, cho \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow v \] thoả mãn \[\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\] và \[\left| {\overrightarrow v } \right| = 3\]. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \] (Hình 24). Giả sử \[\widehat {BAC} = {60^ \circ }\].

a) Tính góc \[\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\].

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \].

Lời giải

a) Vì $\overrightarrow {AB} = \vec u,\overrightarrow {AC} = \vec v$ nên $(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{A B}, \vec{A C}) = B A C = 60^{°}$

b) $|\vec u| = 2,|\vec v| = 3$ nên $|\overrightarrow {AB} | = 2,|\overrightarrow {AC} | = 3$.

Ta có $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 2.3 \cdot \cos 60^{°}$

Câu 4/12

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {AM} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right)\].

Lời giải

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD. (ảnh 1)

a) Ta có: $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= A B \cdot A C \cdot \cos B A C = a \cdot a \cdot \cos 60^{°} = \frac{a^{2}}{2} .$

Tương tự ta cūng có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Ta lại có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} )$, suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên $\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {CD} $.

Suy ra $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$.

Từ các kết quả trên ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$. Suy ra $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 90^{°}$

Câu 5/12

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {CC'} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} } \right)\] (kết quả làm tròn đến phút).

Lời giải

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. (ảnh 1)

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $.

Do đó $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = (\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A^{'} C^{'}}) = B^{'} A^{'} C^{'} = 45^{°}$ (do ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông nên ${A^\prime }{C^\prime }$ là̀ phân giác của góc $\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)$.

Ví ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông cạnh bẳng 1 nên ${A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2 $.

Ta có $\vec{A B} \cdot \vec{A^{'} C^{'}} = | \vec{A B} | \cdot |\vec{A^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} = 1$

Vì ${\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }} $.

Do đó $(\vec{A B}, \vec{C C^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A A^{'}}) = B A A^{'} = 90^{°}$

Do đó $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{C^\prime }} $. Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }} = 0$.

b) $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }$.

Ta có $A{C^\prime }$ là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên $A{C^\prime } = \sqrt 3 $.

${\rm{AC}}$ là đường chéo của hình vuông ${\rm{ABCD}}$ cạnh bằng 1 nên $AC = \sqrt 2 $.

Xét ${\rm{DACC}}$ có $\cos C A C^{'} = \frac{A C^{2} + A C^{2} - C C^{2}}{2 \cdot A C \cdot A C^{'}} = \frac{2 + 3 - 1}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow C A C^{'} \approx 35^{°} 16^{'}$

Vậy $(\vec{A C}, \vec{A C^{'}}) \approx 35^{°} 16^{'}$

Câu 6/12

Trong không gian, cho hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] khác \[\overrightarrow 0 \]. Lấy điểm O và vẽ các vec tơ \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \]. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vec tơ \[\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b \]

a) Giải thích vì sao \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \]

b) Áp dụng định lí cosin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao \[\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\].

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }{O^\prime }} + \overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} $

Mà $\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {{O^\prime }{A^\prime }} = \vec a,\overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} = \vec b \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {{A^\prime }{O^\prime }} ;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} $

Do đó, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $

b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: $\cos AOB = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA \cdot OB}}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ${{\rm{A}}^\prime }{A^\prime }{B^\prime }$ ta có: $\cos {A^\prime }{O^\prime }{B^\prime } = \frac{{{O^\prime }{A^{\prime 2}} + {O^\prime }{B^2} - {A^\prime }{B^2}}}{{2 \cdot {O^\prime }{A^\prime } \cdot {O^\prime }{B^\prime }}}$

vi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \Rightarrow AB = {A^\prime }{B^\prime },\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {{A^\prime }{O^\prime }} \Rightarrow OA = {O^\prime }{A^\prime };\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} \Rightarrow OB = {O^\prime }{B^\prime }$

Do đó, $\cos AOB = \cos {A^\prime }{O^\prime }{B^\prime } \Rightarrow AOB = {A^\prime }{O^\prime }{B^\prime }$

Câu 7/12