Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/19

Trong Hình vẽ bên dưới, cho biết ba vectơ \[\overrightarrow {{F_1}} ,{\overrightarrow F _2},\overrightarrow {{F_3}} \] biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

Lời giải

Giá của ba vectơ này lần lượt là ba đường thẳng ${\rm{AB}},{\rm{AC}},{\rm{AD}}$. Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng vì bốn điếm ${\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}$ không đồng phẳng.

Câu 2/19

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 100o và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

Lời giải

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 100o và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N (ảnh 1)

Gọi F₁ , F₂ , F₃ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.

Vẽ \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = {\overrightarrow F _3}.\]

Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.

Hợp lực tác động vào vật là

\[\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} .\]

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD, ta có

OD2 = BD2 + OB2 − 2 . BD . OB . \[cos\widehat {OBD}\]

= OA2 + OB2 + 2 . OA . OB . cos 100o.

Vì OC ⊥ (OADB) nên OC ⊥ OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó tam giác ODE vuông tại D.

Ta có OE2 = OC2 + OD2 = OC2 + OA2 + OB2 + 2.OA OB.cos100o.

Suy ra \[OE = \sqrt {O{C^{2\;}} + O{A^{2\;}} + O{B^2}\; + 2.OA{\rm{ }}OB.cos{{100}^o}} \]\[ = \sqrt {{4^{2\;}} + {{25}^{2\;}} + {{12}^2}\; + 2.25.12.cos{{100}^o}} \approx 26,092\]

Vậy độ lớn của hợp lực là F = OE ≈ 26 N.

Câu 3/19

Theo định luật II Newton (Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 60): Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: \[\overrightarrow F = m\overrightarrow a \], trong đó \[\overrightarrow a \] là vectơ gia tốc (m/s2), \[\overrightarrow F \] là vectơ lực (N) tác dụng lên vật, m (kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 50 m/s2 thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: \[\overrightarrow F = m\overrightarrow a \] suy ra \[\left| {\overrightarrow F } \right| = m\left| {\overrightarrow a } \right| = 0,5.50 = 25\] (N)

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng 0,5 kg một gia tốc 50 m/s2 thì cần một lực đá có độ lớn là 25 N.

Câu 4/19

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có góc ASC = 60^o (Hình 21).

a) Sử dụng công thức \[\overrightarrow P = m\overrightarrow g \] trong đó \[\overrightarrow g \] là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s², tìm độ lớn của trọng lực \[\overrightarrow P \] tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Lời giải

a) Ta có $\vec P = m\vec g|\vec P| = m|\vec g| = 5.10 = 50\;{\rm{N}}$.

Vậy độ lớn của trọng lực $\vec P$ tác động lên chiếc đèn chùm là $50\;{\rm{N}}$.

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD (ảnh 1)

Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.

Vì đèn ở vị trí cân bẳng nên $\vec P + {\vec T_1} + \overrightarrow {{T_2}} + \overrightarrow {{T_3}} + \overrightarrow {{T_4}} = \vec 0$$ \Leftrightarrow \vec P + {\vec P^\prime } = \vec 0 \Leftrightarrow \vec P = - {\vec P^\prime } \Leftrightarrow P = {P^\prime }$

Có $\left| {{{\vec T}_1}} \right| = \left| {{{\vec T}_2}} \right| = \left| {{{\vec T}_3}} \right| = \left| {{{\vec T}_4}} \right| = |\vec T|$

Từ hình vẽ ta có:

P^{'} = 4 T \cos 30^{°} \Leftrightarrow T = \frac{P^{'}}{4 \cos 30^{°}} = \frac{50}{2 \sqrt{3}} = \frac{25 \sqrt{3}}{3} \approx 14,4 N

Câu 5/19

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30^o (Hình 26).

a) Tính độ lớn của trọng lực \[\overrightarrow P = m\overrightarrow g \] tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn là g = 9,8 m/s2.

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \[\overrightarrow F \] có độ dịch chuyển \[\overrightarrow d \] được tính bởi công thức \[A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \]. . Hãy tính công sinh bởi trọng lực \[\overrightarrow P \] khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Lời giải

a) Ta có $| \vec{P} | = m | \vec{g} | = 25 \cdot 9,8 = 245 N$

b) Theo đề ta có $A = \vec{P} \cdot \vec{d}, (\vec{P}, \vec{d}) = 60^{°}$

$A = \vec{P} \cdot \vec{d} = | \vec{P} | \cdot | \vec{d} | \cdot \cos (\vec{P}, \vec{d}) = 245 \cdot 3,5 \cdot \cos 60^{°} \approx 428,75 J$

Câu 6/19

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ \[\overrightarrow a \]) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d} v à \vec{e} .$

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} v à \vec{e} .$

b) Giải thích vì sao các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} v à \vec{e}$ đôi một bằng nhau.

Lời giải

a) Các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ và $\vec e$ có cùng phương; các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ $\vec e$.

b) Vî trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ $\vec b,\vec c,\vec d,\vec e$ có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ $\vec b,\vec c,\vec d,\vec e$ đôi một bằng nhau.

Câu 7/19