Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối chương 2 có đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} = 5^{n + 1} – (n + 1) = 5^{n + 1} – n – 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có \({u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_{2 - \,1}} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\);

\({u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_{3 - \,1}} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}\);

\({u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_{4 - \,1}} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\).

Đáp án đúng là: C

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Thật vậy, ta có u_{n + 1} = 2^{n + 1} = 2 . 2ⁿ.

Khi đó, u_{n + 1} – u_n = 2 . 2ⁿ – 2ⁿ = 2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là: \({S_{20}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = \frac{{\left( {2.3 + 19.3} \right).20}}{2} = 630\).

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\).

Ta có: \({u_1} = \frac{1}{{{5^1}}} = \frac{1}{5}\)

\({u_{n + 1}} = \frac{1}{{{5^{n + 1}}}} = \frac{1}{{{5^n}.5}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{{{5^n}}} = \frac{1}{5}{u_n}\) không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{5}\) và công bội \(q = \frac{1}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (u_n) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u₂ = u₁q = 6; u₄ = u₁q³ = 24, suy ra \(\frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} = {q^2} = \frac{{24}}{6} = 4\).

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u₂ = u₁q = 6, suy ra u₁ = \(\frac{6}{q}\) = 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là \({S_{10}} = \frac{{3\left[ {1 - {2^{10}}} \right]}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{10}} - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)

= 12 + (10 + 10² + 10³ + ... + 10¹¹)

\( = 12 + \frac{{10\left( {1 - {{10}^{11}}} \right)}}{{1 - 10}}\)

\( = \frac{{108}}{9} + \frac{{{{10}^{12}} - 10}}{9}\)

\( = \frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}\).

Ta có \({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{\pi }{2} = 0\); \({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{7\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{9\pi }}{6} = 0\);

\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{11\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); 0; \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).