Đáp án cần chọn là C.

Ta có:

$$\begin{gathered} 2.g\left(x\right)=2\left(-x^4+2x^3-3x^2+4x+5\right) \\ =-2x^4+4x^3-6x^2+8x+10 \end{gathered}$$

Ta có: $f\left(x\right)-2.g\left(x\right)$

$$\begin{gathered} =5x^4+4x^3-3x^2+2x-1-\left(-2x^4+4x^3-6x^2+8x+10\right) \\ =5x^4+4x^3-3x^2+2x-1+2x^4-4x^3+6x^2-8x-10 \\ =\left(5x^4+2x^4\right)+\left(4x^3-4x^3\right)+\left(-3x^2+6x^2\right)+\left(2x-8x\right)-10-1 \\ =7x^4+3x^2-6x-11 \end{gathered}$$

Hệ số tự do cần tìm là -11.

Đáp án cần chọn C.

Ta có: $2f\left(x\right)=2\left(-4x^3+3x^2-2x+5\right)=-8x^3+6x^2-4x+10$.

Khi đó:

$$\begin{gathered} 2f\left(x\right)-g\left(x\right)=-8x^3+6x^2-4x+10-\left(2x^3-3x^2+4x+5\right) \\ =-8x^3+6x^2-4x+10-2x^3+3x^2-4x-5 \\ =\left(-8x^3-2x^3\right)+\left(6x^2+3x^2\right)+\left(-4x-4x\right)+\left(10-5\right) \\ =-10x^3+9x^2-8x+5. \end{gathered}$$

Hệ số tự do cần tìm là 5.

Đáp án cần chọn là B.

Ta có:

$$\begin{gathered} 2P\left(x\right)=2\left(-6x^5-4x^4+3x^2-2x\right) \\ =-12x^5-8x^4+6x^2-4x \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} 2P\left(x\right)+Q\left(x\right) \\ =-12x^5-8x^4+6x^2-4x+2x^5-4x^4-2x^3+2x^2-x-3 \\ =\left(-12x^5+2x^5\right)+\left(-8x^4-4x^4\right)-2x^3+\left(6x^2+2x^2\right)+\left(-4x-x\right)-3 \\ =-10x^5-12x^4-2x^3+8x^2-5x-3. \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là A.

Ta có:

$$\begin{gathered} M\left(x\right)=P\left(x\right)-Q\left(x\right) \\ =-6x^5-4x^4+3x^2-2x-\left(2x^5-4x^4-2x^3+2x^2-x-3\right) \\ =-6x^5-4x^4+3x^2-2x-2x^5+4x^4+2x^3-2x^2+x+3 \\ =\left(-6x^5-2x^5\right)+\left(-4x^4+4x^4\right)+2x^3+\left(3x^2-2x^2\right)+\left(-2x+x\right)+3 \\ =-8x^5+2x^3+x^2-x+3 \end{gathered}$$

Nên $M\left(x\right)=-8x^5+2x^3+x^2-x+3$

Thay x = -1 vào M(x) ta được:

$$\begin{gathered} M(-1)=-8.{\left(-1\right)}^5+2.{\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+3 \\ =8-2+1+1+3=11 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là C.

Ta có:

$$\begin{gathered} 2Q\left(x\right)=2\left(2x^5-4x^4-2x^3+2x^2-x-3\right) \\ =4x^5-8x^4-4x^3+4x^2-2x-3 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} P\left(x\right)-2Q\left(x\right) \\ =-6x^5-4x^4+3x^2-2x-\left(4x^5-8x^4-4x^3+4x^2-2x-6\right) \\ =-6x^5-4x^4+3x^2-2x-4x^5+8x^4+4x^3-4x^2+2x+6 \\ =\left(-6x^5-4x^5\right)+\left(-4x^4+8x^4\right)+4x^3+\left(3x^2-4x^2\right)+\left(-2x+2x\right)+6 \\ =-10x^5+4x^4+4x^3-x^2+6 \end{gathered}$$

Nên

 $$\begin{gathered} P\left(x\right)-2Q\left(x\right)=N\left(x\right)-x^2+6 \\ \Rightarrow N=P\left(x\right)-2Q\left(x\right)-\left(-x^2+6\right) \\ =-10x^5+4x^4+4x^3-x^2+6-\left(-x^2+6\right) \\ =-10x^5+4x^4+4x^3-x^2+6+x^2-6 \\ =-10x^5+4x^4+4x^3 \end{gathered}$$

Nên $N\left(x\right)=-10x^5+4x^4+4x^3$.