Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Vị trí li độ của vật (tính bằng cm) tại thời điểm t (giây) được xác định bởi phương trình \(x = 4\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{6}} \right)\). Thời điểm nào sau đây vật đi qua vị trí có li độ x = 0?

Chiều cao h (mét) của một cabin trên vòng quay Ferris sau t phút kể từ lúc bắt đầu quay được mô tả bởi một phương trình lượng giác dạng \(\cos (\omega t + \varphi ) = m\). Để tìm các thời điểm cabin đạt độ cao cố định bằng giá trị sàn kỹ thuật, học sinh phải giải phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = - \frac{1}{2}\). Phương trình lượng giác cơ bản này tương đương với phương trình nào sau đây?

Mực nước ở một cảng biển được tính theo công thức độ sâu \(h = 3 + 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)\), trong đó h tính bằng mét và thời gian t tính bằng giờ trong một ngày (0 ≤ t ≤ 24). Trong một ngày, có bao nhiêu thời điểm mực nước tại cảng đạt độ sâu chính xác bằng 4 m?

Một tín hiệu vô tuyến truyền qua tầng điện ly có cường độ sóng biến thiên và được mô hình hóa bởi phương trình năng lượng \(I = 2 + 2\sin \left( {100\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\), với t là thời gian tính bằng giây. Thời điểm đầu tiên (t > 0) để cường độ tín hiệu đạt giá trị bằng 2 đơn vị là:

Một chiếc đu quay đứng có bán kính 20 m, tâm của vòng quay ở độ cao 22 m so với mặt đất. Khi vòng quay hoạt động ổn định, vị trí độ cao H (mét) của một khoang hành khách sau t giây được tính theo công thức \(H(t) = 22 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right)\). Trong 2 phút đầu tiên kể từ lúc đu quay bắt đầu chạy, có bao nhiêu thời điểm khoang hành khách này đạt độ cao đúng bằng 32 m?

Cường độ dòng điện xoay chiều chạy qua một thiết bị điện gia dụng được mô phỏng theo phương trình \(i = 2\cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\), trong đó i tính bằng Ampere (A) và thời gian t tính bằng giây (s). Người ta cần xác định các thời điểm dòng điện triệt tiêu (i = 0).

Chiều cao mực nước (tính bằng mét) tại một con kênh thủy lợi thay đổi theo quy luật tự nhiên và được xác định dựa trên phương trình \(d = 5 + 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right)\), với t là số giờ tính từ nửa đêm (0 ≤ t ≤ 24). Nhà quản lý cần đóng van xả khi mực nước trong kênh đạt 6,5 m.

Một kỹ sư cơ khí thiết kế chuyển động pittông của một động cơ ô tô. Khoảng cách s (cm) từ tâm chốt pittông đến vị trí cố định trên trục khuỷu tại thời điểm t (giây) tuân theo phương trình \(s = 10 + 6\cos \left( {10\pi t} \right)\). Kỹ sư cần tìm các thời điểm pittông cách vị trí cố định một khoảng đúng bằng 13 cm.

Một ngọn hải đăng quét ánh sáng trên mặt biển theo một vòng tròn đều với tốc độ góc không đổi. Vệt sáng quét qua một bờ biển thẳng dài tạo thành một khoảng cách từ chân ngọn hải đăng đến điểm sáng được mô hình hóa bởi phương trình\(d = 2\tan \left( {\frac{\pi }{4}t} \right)\), trong đó d là khoảng cách tính bằng kilômét và t là thời gian tính bằng phút kể từ khi đèn bắt đầu quét hướng thẳng góc vào bờ.

Nhiệt độ trung bình ngày T (°C) tại một thành phố ôn đới được dự báo dựa trên mô hình khí tượng lượng giác \(T = 18 + 12\sin \left( {\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\), trong đó x là số thứ tự của tháng trong năm (1 ≤ x ≤ 12, với x là số nguyên, ví dụ x = 1 đại diện cho tháng 1).