Bài tập Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{BD + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AC + AC}}\).

Vậy \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{a}{{b + c}}\).

Kẻ BI⊥AD (I ∈ AD), suy ra BI ≤ BD.

∆IAB có \(\widehat {AIB} = 90^\circ \).

Do đó, sin\(\widehat {BAI}\) = \(\frac{{BI}}{{AB}}\) hay \(\sin \frac{A}{2} \le \frac{a}{{b + c}}\).

Hướng dẫn giải

Vẽ AH⊥BC, H ∈ BC.

Vì trong tam giác HAB có \(\widehat H = 90^\circ \) nên sin B = \(\frac{{AH}}{{AB}}\).

Do trong tam giác AHC có \(\widehat H = 90^\circ \) nên sin C = \(\frac{{AH}}{{AC}}\).

Do đó, \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\) suy ra \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\).

Tương tự, ta suy ra \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\).

Vậy \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinB = \(\frac{{AC}}{{BC}}\); sinC = \(\frac{{AB}}{{BC}}\).

Do đó, \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BA}}\) (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos²α + sin²α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180° nên ta cũng có:

\({\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5}\) = 1.

Suy ra \(5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

hay \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\).

Do đó sin A = sin (180° − \(\widehat A\)) = sin (B + C).

Suy ra khẳng định A là đúng.

Lại có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Do đó: cos\(\frac{A}{2}\) = sin\(\frac{{B + C}}{2}\) (hai góc phụ nhau).

Suy ra khẳng định C là đúng.

Mặt khác tanA = −tan(180° − A) = −tan(B + C).

Suy ra khẳng định D là đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: cotx = \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Do đó, ta có: \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{1 + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{1 - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}}}{{\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}} = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 1}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1}}\)

Suy ra \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Đáp án đúng là: B

(sinx + cosx)² = sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1 + 2sinxcosx.

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin⁴x + cos⁴x = (sin²x)² + 2sin²xcos²x + (cos²x)² – 2sin²xcos²x

= (sin²x + cos²x)² – 2sin²xcos²x

= 1 – 2sin²xcos²x.