Kết quả tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx$ có dạng $I = aln2 + b\;$ với $a,b \in Q\;$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx$. Nếu đổi biến số $t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;$ thì:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính $I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx$

Cho $2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0$. Khi đó $144{m^2} - 1\;$bằng:

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx$

Đặt $\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt$

Đổi cận:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx$ Đặt $u = 8 + cosx$ thì kết quả nào sau đây là đúng?

Cho $I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx$ và $t = \sqrt {1 + 3lnx} \;$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Biết rằng $I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a$ với $a \in R$. Khi đó giá trị của a bằng: