Câu hỏi:
28/06/2022 144Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \frac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).\]. Tính \(\frac{b}{c}\).
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có\[3\sin x + \cos x = A\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + B\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 3sinx + cosx = (2A - 3B)sinx + (3A + 2B)cosx\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2A - 3B = 3}\\{3A + 2B = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = \frac{9}{{13}}}\\{B = - \frac{7}{{13}}}\end{array}} \right.\)
Nên
\[3\sin x + \cos x = \frac{9}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \frac{7}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]
Từ đó ta có
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3sinx + cosx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{9}{{13}}(2sinx + 3cosx) - \frac{7}{{13}}(2cosx - 3sinx)}}{{2sinx + 3cosx}}dx} \)
\(\begin{array}{l} = \frac{9}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx - \frac{7}{{13}}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2cosx - 3sinx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{2sinx + 3cosx}}} d(2sinx + 3cosx)\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln|2sinx + 3cosx|\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln2 + \frac{7}{{13}}ln3\end{array}\)
Suy ra\[b = \frac{7}{{13}};c = \frac{9}{{26}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{14}}{9}\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx\]
Xem đáp án »
28/06/2022
688
Câu 2:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx\]. Nếu đổi biến số \[t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\] thì:
Xem đáp án »
28/06/2022
463
Câu 3:
Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
431
Câu 4:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\)
Xem đáp án »
28/06/2022
406
Câu 5:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
28/06/2022
354
Câu 6:
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Xem đáp án »
28/06/2022
343
Câu 7:
Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \[\left[ { - a;a} \right].\]Chọn kết luận đúng:
Xem đáp án »
28/06/2022
318
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Nghĩa của từ
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
về câu hỏi!