Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left[ { - 1;2} \right]\]và thỏa mãn điều kiện \[f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\] Tính tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx\]

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)}\\{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx}\\{ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}}\end{array}\]

Xét tích phân\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx\]

Đặt\[t = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {t.2tdt = } 2\int\limits_1^2 {{t^2}.dt = } \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {_1^2} \right. = \frac{{14}}{3}\)

Xét tích phân\[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx\]

Đặt\[u = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdxu = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow u = 2}\\{x = 2 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {I_2} = \mathop \smallint \limits_2^{ - 1} - \frac{1}{2}f\left( u \right)du = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}I\]

Vậy \[I = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow \frac{1}{2}I = \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \frac{{28}}{3}\]

Đáp án cần chọn là: B