Câu hỏi:

28/06/2022 173

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left[ { - 1;2} \right]\]và thỏa mãn điều kiện \[f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\] Tính tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)}\\{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx}\\{ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}}\end{array}\]

Xét tích phân\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx\]

Đặt\[t = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {t.2tdt = } 2\int\limits_1^2 {{t^2}.dt = } \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {_1^2} \right. = \frac{{14}}{3}\)

Xét tích phân\[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx\]

Đặt\[u = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdxu = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow u = 2}\\{x = 2 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {I_2} = \mathop \smallint \limits_2^{ - 1} - \frac{1}{2}f\left( u \right)du = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}I\]

Vậy \[I = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow \frac{1}{2}I = \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \frac{{28}}{3}\]

Đáp án cần chọn là: B

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Đặt

\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}\\{ \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \frac{{dx}}{{{x^3}}}}\end{array}\]

Và\[{t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{{{t^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = - \frac{t}{{{t^2} - 1}}dt\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 }\\{x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Đặt\[t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 4}\end{array}} \right.\)

Bước 2:

Khi đó ta có \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^4 2f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx\]

\[ = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx} \right] = 2\left( {4 - 1} \right) = 6\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP