Câu hỏi:
28/06/2022 212Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = 5\] Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:\[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]
Xét \[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]đặt\[t = \pi - x \Rightarrow dt = - dx\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}}\\{x = \pi \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{I_1} = - \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^0 \left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right)\,dt}\\{\,\,\,\,\,\, = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin t} \right)\,dt}\\{\,\,\,\,\,\, = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\pi - x} \right)f\left( {\sin x} \right)\,dx}\\{\,\,\,\,\,\, = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx - \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)\,dx}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)dx + \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx - \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)\,dx}\\{ \Rightarrow I = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx = 5\pi .}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách vietjack
- Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack ( 39.000₫ )
- Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack ( 140.000₫ )
- Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack ( 39.000₫ )
- Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx\]
Xem đáp án »
28/06/2022
826
Câu 2:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx\]. Nếu đổi biến số \[t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\] thì:
Xem đáp án »
28/06/2022
825
Câu 3:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\)
Xem đáp án »
28/06/2022
509
Câu 4:
Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
502
Câu 5:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
28/06/2022
399
Câu 6:
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Xem đáp án »
28/06/2022
390
Câu 7:
Biết rằng \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a\] với \[a \in R\]. Khi đó giá trị của a bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
368
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận