Câu hỏi:
28/06/2022 95Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4,\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]. Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x\]
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4\]
Đặt\[t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 9 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có: \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_1^3 \frac{{f\left( t \right)2tdt}}{t} = 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\]
\[ \Rightarrow 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 2\]
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]
Đặt\[u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow u = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( u \right)du = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\]
Vậy \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x + \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right){\rm{d}}x = 2 + 2 = 4\]
Đáp án cần chọn là: B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx\]
Câu 2:
Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:
Câu 3:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\)
Câu 4:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx\]. Nếu đổi biến số \[t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\] thì:
Câu 5:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?
Câu 6:
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Câu 7:
Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \[\left[ { - a;a} \right].\]Chọn kết luận đúng:
về câu hỏi!