Biết hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\left[ {0;2} \right],f\left( 0 \right) = \sqrt 5 ,f\left( 2 \right) = \sqrt {11} .\] Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\] bằng:
A.\[\sqrt {11} - \sqrt 5 \]
B. 6
C. \[\sqrt 5 - \sqrt {11} \]
D. 3
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\]
Đặt\[f\left( x \right) = t \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 5 }\\{x = 2 \Rightarrow t = \sqrt {11} }\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{\sqrt {11} } {tdt = \frac{{{t^2}}}{2}} \left| {_{\sqrt 5 }^{\sqrt {11} }} \right. = \frac{1}{2}(11 - 5) = 3.\)
Đáp án cần chọn là: D
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
B. \[I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt\]
C. \[I = \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
D. \[I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{t}{{{t^2} + 1}}dt\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đặt
\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}\\{ \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \frac{{dx}}{{{x^3}}}}\end{array}\]
Và\[{t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{{{t^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = - \frac{t}{{{t^2} - 1}}dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 }\\{x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
Đáp án cần chọn là: A
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bước 1: Đổi biến
Đặt\[t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 4}\end{array}} \right.\)
Bước 2:
Khi đó ta có \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^4 2f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx\]
\[ = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx} \right] = 2\left( {4 - 1} \right) = 6\]
Câu 3
A.\[ - \frac{2}{3}\]
B. \[4\sqrt 3 - 1\]
C. \[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]
D. Kết quả khác
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}\]
B. \[I = - {\pi ^4}\]
C. \[I = 0\]
D. \[I = - \frac{1}{4}\]Trả lời:
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[I = - 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos ^2}tdt\]
B. \[I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \cos 2t} \right)dt\]
C. \[I = 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^2}tdt\]
D. \[I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 - \cos 2t} \right)dt\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[I = 2\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
B. \[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
C. \[I = \mathop \smallint \limits_9^8 \sqrt u du\]
D. \[I = \mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\]
B. \[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 1\]
C. \[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = - 1\]
D. \[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = a\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập