Giải SGK Toán 9 CTST Bài 3. Đa giác đều và phép quay có đáp án

Trong mỗi hình, độ dài các đoạn thẳng bằng nhau, độ lớn các góc hợp bởi hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

Trong Hình 2, ta thấy:

− Độ dài các cạnh của mỗi đa giác là bằng nhau.

− Số đo góc của mỗi đa giác là bằng nhau.

Các cung chia đường tròn (O; R) thành 6 cung có số đo bằng nhau, suy ra số đo mỗi cung là 360° : 5 = 72°.

Ta có  là góc nội tiếp chắn cung MN suy ra

Xét ΔMON, có: OM = ON = R suy ra ΔMON cân tại O.

Suy ra (tính chất tam giác cân).

Do đó

Tương tự, ta có 

Suy ra

Xét ΔOMN và ΔONP có:

 OM = OP; ON chung.

Do đó ΔOMN = ΔONP (c.g.c).

Suy ra MN = NP (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta thu được ngũ giác MNPQR có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng nhau (đều bằng 108°).

Vậy MNPQR là một đa giác đều.

Do ABCDEF là lục giác đều nên 

• .

• AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Vì M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA.

Suy ra AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QE = ER = RF = FS = SA.

Xét ΔSAM và ΔMBN có:

(chứng minh trên);

AM = BN (chứng minh trên);

SA = MB (chứng minh trên).

Do đó ΔSAM = ΔMBN  (c.g.c).

Suy ra SM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta được: MN = NP, NP = PQ, QR = RS, RS = SM. (1)

Vì AS = AM (chứng minh trên) suy ra ΔASM cân tại A.

Suy ra  (tính chất tam giác cân).

Do đó  (tổng 3 góc trong của tam giác).

Tương tự ta thu được:

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Ta có 

Tương tự, ta được:  (2)

Từ (1) và (2), suy ra MNPQRS là đa giác đều.

Trong quá trình trên, hình vuông H trùng khít với hình vuông ABCD 4 lần (không tính vị trí ban đầu trước khi quay).

• Lần 1, điểm M vạch lên cung số đo 90°.

• Lần 2, điểm M vạch lên cung số đo 180°.

• Lần 3, điểm M vạch lên cung số đo 270°.

• Lần 4, điểm M vạch lên cung số đo 360°.