Câu hỏi:

27/06/2022 1,235

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\]

\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \frac{1}{x}khix \in \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

⇒ Ta chặn được\[y > - 3 \Rightarrow y \ge - 2\]

\[*pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\]

Đặt \[f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\] ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(\frac{1}{3}) = {3^{y - 8}} - \frac{y}{3} - 1}\\{f(3) = {{27}^{3y}} - 3y - 1}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy ngay\[f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\] chỉ bằng 0 tại y=0

+ Xét y=0⇒ thay vào phương trình ban đầu ⇒\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) loại vì không có nghiệm thuộc \[\left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

+ Xét\[y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ * }\]

1) Ta Table khảo sát\[f\left( {\frac{1}{3}} \right)\] với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Start:y = - 2}\\{End:y = 17}\\{Step: = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

⇒ Có 11 giá trị của yy để tồn tại nghiệm

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi\[y \ge 10\] thì \[f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\] và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi \[y \ge 10\] thì phương trình vô nghiệm.

\[g\prime (y) = x({27^{3{x^2} + x(y - 9)}}.ln27 - 1) > 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\forall y \ge 10}\\{x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\]

Ta có\[h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

\[ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{14}}{3} > 0\]

⇒ Phương trình vô nghiệm với\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của yy.

Đáp án cần chọn là: C

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

\[{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\]

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2

Phương trình \[{4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\] có nghiệm là:

Lời giải

\[{4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 8}}{5}\]

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay