Câu hỏi:
27/06/2022 987Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Phương trình mũ và một số phương pháp giải !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\]
\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \frac{1}{x}khix \in \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]
⇒ Ta chặn được\[y > - 3 \Rightarrow y \ge - 2\]
\[*pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\]
Đặt \[f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\] ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(\frac{1}{3}) = {3^{y - 8}} - \frac{y}{3} - 1}\\{f(3) = {{27}^{3y}} - 3y - 1}\end{array}} \right.\)
Nhận thấy ngay\[f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\] chỉ bằng 0 tại y=0
+ Xét y=0⇒ thay vào phương trình ban đầu ⇒\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) loại vì không có nghiệm thuộc \[\left( {\frac{1}{3};3} \right)\]
+ Xét\[y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ * }\]
1) Ta Table khảo sát\[f\left( {\frac{1}{3}} \right)\] với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Start:y = - 2}\\{End:y = 17}\\{Step: = 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]
⇒ Có 11 giá trị của yy để tồn tại nghiệm
2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi\[y \ge 10\] thì \[f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\] và đồng biến.
Ta đi chứng minh khi \[y \ge 10\] thì phương trình vô nghiệm.
\[g\prime (y) = x({27^{3{x^2} + x(y - 9)}}.ln27 - 1) > 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\forall y \ge 10}\\{x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\]
Ta có\[h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]
\[ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{14}}{3} > 0\]
⇒ Phương trình vô nghiệm với\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của yy.
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Phương trình \[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\] có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:
Xem đáp án »
27/06/2022
554
Câu 4:
Phương trình \[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\]có tổng các nghiệm bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
437
Câu 5:
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\]là:
Xem đáp án »
27/06/2022
431
Câu 6:
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
372
về câu hỏi!