Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACC′A′) và (BCC′B′) hợp với nhau góc 900.
A.\[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\]
B. \[\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\]
C. \[\frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{8}\]
D. \[\frac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{8}\]
Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Thể tích khối hộp !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi D là trung điểm của AB. Trong (CC′D) kẻ \[OH \bot CC' \Rightarrow OH = a\]
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot AB}\\{C\prime O \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow AB \bot (CC\prime D) \Rightarrow AB \bot CC\prime \)
Trong (ABC), qua O kẻ\[EF//AB\left( {E \in BC;F \in AC} \right)\]
Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{EF \bot CC\prime }\\{OH \bot CC'}\end{array}} \right\} \Rightarrow CC\prime \bot (EFH) \Rightarrow CC\prime \bot HE;CC\prime \bot HF\)
Ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{(ACC\prime A\prime ) \cap (BCC\prime B\prime ) = CC\prime }\\{(ACC\prime A\prime ) \supset HF \bot CC\prime }\\{(BCC\prime B\prime ) \supset HE \bot CC\prime }\end{array}} \right\} \Rightarrow ((ACC\prime \widehat {A\prime );(B}CC\prime B\prime )) = (H\widehat {F;H}E) = {90^0}\)
\[ \Rightarrow HE \bot HF\]
\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}HEF\] vuông tại H
\[{\rm{\Delta }}HCE = {\rm{\Delta }}HCF\left( {c.g.v - c.h} \right) \Rightarrow HE = HF \Rightarrow {\rm{\Delta }}HEF\] vuông cân tại H\[ \Rightarrow EF = 2HO = 2a\]
Ta có:\[\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CO}}{{CD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AB = \frac{3}{2}EF = \frac{3}{2}.2a = 3a\]
\[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
\[CD = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CO = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
\[C'O \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow C'O \bot CO \Rightarrow {\rm{\Delta }}CC'O\] vuông tại O
\[ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{C'{O^2}}} + \frac{1}{{C{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{C'{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{C{O^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow C'O = \frac{{\sqrt 6 }}{2}a\]
Vậy\[{V_{ABC.A'B'C'}} = C'O.{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{8}\]
Đáp án cần chọn là: D
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.50
B. \[\frac{{15}}{2}\]
C. \[\frac{{50}}{3}\]
D. \[\frac{{15}}{4}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn\[AD = BE = CF = \frac{5}{3}\] thì đa diện là hình lăng trụ đứng\[ABC.DEF\] có diện tích đáy\[{S_{ABC}} = 10\] và chiều cao\[AD = \frac{5}{3}\]
Thể tích\[V = {S_{ABC}}.AD = 10.\frac{5}{3} = \frac{{50}}{3}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2
A.75
B.36
C.18
D.54
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Cạnh của khối lập phương đã cho là:\[a = \sqrt[3]{{27}} = 3.\]
⇒ Diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho là:\[{6.3^2} = 54.\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3
A.\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]
B. \[\frac{{8{a^3}}}{3}\]
C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\]
D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[\frac{{{a^3}}}{4}\]
B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\]
C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\]
D. \[\frac{{{a^3}}}{2}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[{V_1} = \frac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \frac{{11{a^3}}}{{24}}\]
B. \[{V_1} = \frac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \frac{{11{a^3}}}{{48}}\]
C. \[{V_1} = \frac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \frac{{11{a^3}}}{{48}}\]
D. \[{V_1} = \frac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \frac{{5{a^3}}}{{24}}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[\frac{V}{2}\]
B. \[\frac{{2V}}{3}\]
C. \[\frac{V}{3}\]
D. \[\frac{{3V}}{4}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\]
B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\]
C. \[\frac{{3{a^3}}}{8}\]
d. \[\frac{{{a^3}}}{8}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập