Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ với ABC là tam giác vuông cân tại C có AB=a , mặt bên ABB′A′ là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB′ chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?

Gọi D là trung điểm của AA′  ta có ID là đường trung bình của tam giác

\[AA'B \Rightarrow ID//A'B\]

Mà\[A'B \bot AB'\] (do ABB′A′ là hình vuông)

\[ \Rightarrow ID \bot AB'\]

Tam giác ABC vuông cân tại CC nên \[IC \bot AB\]. Mà\[AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC\]

\[ \Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'\]

\[ \Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)\]

⇒ Mặt phẳng qua I và vuông  góc với AB′  là (ICD)

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

\[AC = BC = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}\frac{a}{{\sqrt 2 }}\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^2}}}{4}\]

\[ABB'A'\]  là hình vuông\[ \Rightarrow AA' = AB = a\]

\[ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{4} = V\]

Ta có:

\[{V_{D.ACI}} = \frac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AA'.\frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{{12}}.\frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}\]

\[ \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \frac{{{a^3}}}{4} - \frac{{{a^3}}}{{48}} = \frac{{11{a^3}}}{{48}}\]

Đáp án cần chọn là: C