Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD,BC; AD = 3BC = 3a, AB = a,\(SA = a\sqrt 3 \). Điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AI} \); M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng(ABCD).

Xét tam giác SAD vuông tại A có \[SA = a\sqrt 3 ,AD = 3a \Rightarrow \widehat {SDA} = {30^0} \Rightarrow \widehat {MAI} = {30^0}\]

Lại có tam giác SAI vuông tại A có\[SA = a\sqrt 3 ,AI = a \Rightarrow \widehat {SIA} = {60^0}\] nên tam giác AHI có\[\hat H = {90^0}\]  hay \[AH \bot SI\]

Mà \[AH \bot IC\] do \[IC//BA \bot \left( {SAD} \right)\]  nên \[AH \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\]Ngoài ra,\[AE \bot SB,AE \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC\]

Mà\[AF \bot SC\]  nên\[SC \bot \left( {AEFH} \right)\] và AEFH là tứ giác có \[\hat E = \hat H = {90^0}\] nên nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm AF đường kính AF.Gọi O là trung điểm AC thì OK//SC, mà\[SC \bot \left( {AEFH} \right)\] nên \[OK \bot \left( {AEFH} \right)\] hay O chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính AF.

Ta tính AF,OK.

Xét tam giác SAC vuông tại A đường cao AF nên

\[AF = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }};OK = \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}.\frac{{C{A^2}}}{{CS}} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]

Vậy thể tích \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{a}{{\sqrt 5 }}.{\left( {\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}\]