Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Giả sử đường cong hình bên là đồ thị của hàm số: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\;\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ đồ thị hàm số ta thấy \(a > 0\) nên loại A và B.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: \(\left( { - 1;3} \right)\) và \(\left( {1; - 1} \right)\) nên chọn D.

Tiệm cận đứng: \[x = \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 1\]

Tiệm cận ngang: \[y = \frac{a}{c} =  - 1 \Leftrightarrow a =  - c \Rightarrow a =  - 1\]

Đồ thị cắt trục hoành tại \[x = 2\] nên \[2a + b = 0\] hay \[b =  - 2a = 2.\]

Vậy có hai số dương.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\) nên loại A.

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y =  - x\) nên loại B, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2; - 3} \right)\). Chọn đáp án C.

Lời giải

Đồ thị có tiệm cận đứng \(x =  - 2\).

Suy ra \( - \frac{2}{c} =  - 2 \Leftrightarrow c = 1\).

Đồ thị có tiệm cận xiên đi qua hai điểm: \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\) nên có phương trình: \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{1} = 1 \Leftrightarrow y = x + 1\).

Khi đó ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 1 \Leftrightarrow a = 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + bx + 1}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {b - 2} \right)x + 1}}{{x + 2}} = b - 2 = 1 \Leftrightarrow b = 3\].

Vậy: \(T = 2a + 3b - c = 2 + 9 - 1 = 10\). Chọn đáp án B.

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta có hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\].

Chọn D

Ta có: \[y' =  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]

Hàm số đồng biến khi \(y' > 0\)\( \Leftrightarrow 0 < x < 2\).

Chọn C

Dựa vào đồ thi hàm số ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \[M\left( {1\,;\, - 2} \right)\].

Từ đồ thị ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 1\). Chọn đáp án B.