Đáp án D

Từ đề bài $\widehat{C}>\widehat{B}\Rightarrow AB>AC$. Trên cạnh AB lấy AB lấy điểm E sao cho $AC=AE$

Xét tam goác ACD và tam giác AED có:

$AC=AE$

$\widehat{CAD}=\widehat{DAB}$ (tính chất tia phân giác)

Cạnh AD chung

$\Rightarrow \Delta ACD=\Delta AED(c-g-c)$

$\Rightarrow DE=CD$ (1) và $\widehat{AED}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{ACD}$ là góc nhọn nên $\widehat{AED}$ là góc nhọn, suy ra:

$\widehat{BED}={180}^o-\widehat{AED}$ là góc tù, do đó $\widehat{BED}>\widehat{EBD}$

Xét tam giác BED có $\widehat{BED}>\widehat{EBD}$ suy ra $BD>DE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DC<BD$

Đáp án C

Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt BC tại H

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD có:

BD cạnh chung

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}={90}^o$

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta HBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AD=HD$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có $\widehat{D_1}$ là góc ngoài đỉnh D của $\Delta HBD$ nên ta có:

$\widehat{D_1}=\widehat{B_2}+\widehat{DCH}\Rightarrow \widehat{D_1}>\widehat{B_2}$

Mà $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$) nên $\widehat{D_1}>\widehat{B_1}$ suy ra $AB>AD$

Xét $\Delta DHC$ có $\widehat{DHC}={90}^o$ nên $DC>HD$

Mặt khác $AD=HD$ (cmt) nên $DC>AD$

Đáp án D

Do $\widehat{A}>{90}^o\Rightarrow \widehat{AEF}<{90}^o$ (vì $\widehat{A}+\widehat{AEF}+\widehat{AFE}={180}^0$)

$\Rightarrow \widehat{BEF}>{90}^o\Rightarrow BF>EF$   (1) nên A đúng

Do $\widehat{A}>{90}^o\Rightarrow \widehat{BFE}<{90}^o$ (vì $\widehat{A}+\widehat{AEF}+\widehat{AFE}={180}^0$)

$\Rightarrow \widehat{BFC}>{90}^o\Rightarrow BF<BC$ (2) nên C đúng

Từ (1), (2) suy ra EF < BC nên B đúng

Vậy cả A,B,C đều đúng

Đáp án C

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ABH}={180}^o$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{ABC}<{135}^0$ (gt)

Suy ra $\widehat{ABH}>{180}^o-{135}^0={45}^0$  (1)

$\Delta AHB$ có $\widehat{AHB}={90}^o$ nên $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}={90}^o$, mà

$\widehat{ABH}>{45}^0\left(cmt\right)$ suy ra $\widehat{BAH}<{90}^o-{45}^0={45}^0$  (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{ABH}>\widehat{BAH}$ suy ra $AH>BH$       (3)

$\Delta AHC$ có $\widehat{AHC}={90}^o$ nên $\widehat{CAH}+\widehat{C}={90}^o$, mà $\widehat{C}<{45}^0$ (gt)

Nên $\widehat{CAH}>{90}^o-{45}^0={45}^0$. Từ đó suy ra $\widehat{C}<\widehat{CAH}$ suy ra $AH<CH$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BH<AH<CH$

Đáp án B

$\Delta AMN$ có $\widehat{MAN}={90}^o$ nên $\widehat{AMN}+\widehat{ANM}={90}^o$ suy ra $\widehat{AMN}<{90}^o$

Ta có: $\widehat{AMN}+\widehat{NMB}={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{NMB}={180}^o-\widehat{AMN}>{180}^o-{90}^o$

$\Rightarrow \widehat{NMB}>{90}^o$ hay $\widehat{NMB}$ là góc tù

Xét $\Delta MNB$ có $\widehat{NMB}$ là góc tù nên BN > MN   (1)

$\Delta ABN$ có $\widehat{BAN}={90}^o$ nên $\widehat{ABN}+\widehat{ANB}={90}^o$ suy ra $\widehat{ANB}<{90}^o$

Ta có: $\widehat{ANB}+\widehat{CNB}={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{CNB}={180}^o-\widehat{ANB}>{180}^o-{90}^o$

$\Rightarrow \widehat{CNB}>{90}^o$ hay $\widehat{CNB}$ là góc tù

Xét $\Delta BCN$ có $\widehat{CNB}$ là góc tù nên $BC>BN$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN<BN<BC$ hay MN < BC