Tìm các giá trị của m để phương trình \[{x^2} - 2x + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} = m\] có nghiệm duy nhất.

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

\[y = {x^2} - 2x + \left| {2x - 3} \right|\]và đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành.

Đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x + |2x - 3|\]

\( = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x + 2x - 3 = {x^2} - 3({P_1})\,khi\,x \ge \frac{3}{2}}\\{{x^2} - 2x - 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3({P_2})\,khi\,x < \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

được vẽ như sau:

+ Vẽ lần lượt hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ

+ Xóa đi nhánh bên trái điểm \[x = \frac{3}{2}\] của đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 3\]

+ Xóa đi nhánh bên phải điểm  \[x = \frac{3}{2}\]của đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 4x + 3\]

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (P1) và (P2) là \[\left( {\frac{3}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\]

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \[m = - \frac{3}{4}\]

Đáp án cần chọn là: C