Cho  phương trình của (P):\[y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\] biết rằng hàm số  có giá trị lớn nhất bằng 1 và đồ thị hàm số đi qua các điểm A(2;0), B(−2;−8) Tình tổng \[{a^2} + {b^2} + {c^2}\]

Dễ thấy rằng đồ thị của (P) có đỉnh đặt trên đường thẳng y = 1 và hệ số m < 0..

Do đó, phương trình của (P) có dạng \[y = m{\left( {x - u} \right)^2} + 1\,\,(m < 0)\](P) đi qua các điểm A(2;0), B(−2;−8) nên có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m{{(2 - u)}^2} + 1 = 0}\\{m{{( - 2 - u)}^2} + 1 = - 8}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - \frac{1}{{{{(2 - u)}^2}}}}\\{m = - \frac{9}{{{{( - 2 - u)}^2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \Rightarrow - \frac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}} = - \frac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}\)

\[ \Rightarrow {\left( {u + 2} \right)^2} = 9{\left( {2 - u} \right)^2} \Leftrightarrow 8{u^2} - 40u + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 1}\\{u = 4}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 1}\\{m = - 1\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 4}\\{m = - \frac{1}{4}\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Từ đây có hai phương trình (P) thỏa mãn là\[y = - {x^2} + 2x,\,\,\,y = - \frac{1}{4}{x^2} + 2x - 3\]

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 5\]  hoặc \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{{209}}{{16}}\]

Đáp án cần chọn là: D