Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = 3\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) - 8\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)\].
A.\[ - \frac{{34}}{3}\]
B.4
C.22
D.−10
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có :
\[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 2\frac{a}{b}.\frac{b}{a} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + 2 \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} - 2\]
Biến đổi biểu thức P về dạng
\[P = 3{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} - 6 - 8\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) = 3{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} - 8\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) - 6\]
Đặt \[t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2}\]
Áp dụng bất đẳng thức \[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\,\,\forall x,y\] với hai số \[\frac{a}{b}\] và \[\frac{b}{a}\] ta có :
\[{t^2} = {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2} \ge 4\frac{a}{b}.\frac{b}{a} = 4 \Leftrightarrow |t| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 2}\\{t \le - 2}\end{array}} \right.\]
Biểu thức P trở thành \[P = 3{t^2} - 8t - 6\]Trục đối xứng \[x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{4}{3}\] và hệ số \[a = 3 >0.\]
Suy ra hàm số \[f\left( t \right) = 3{t^2} - 8t - 6\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;\frac{4}{3}} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\]BBT :
Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 2
Ta có f(2 )= −10.
Vậy minP = minf(t) = −10.
Đáp án cần chọn là: D
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bước 1:
Gọi hai điểm chân cổng là \[A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\] và \[B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\] thì ta có \[{y_A} = {y_B}\] và \[\left| {{x_A}} \right| = \left| {{x_B}} \right|.\]
Vì d = 4 nên \[\left| {{x_A}} \right| = \left| {{x_B}} \right| = 2.\]
Bước 2: Tính h
Vậy \[h = \left| {{y_A}} \right| = \left| { - \frac{1}{2}x_A^2} \right| = \left| { - \frac{1}{2}{{.2}^2}} \right| = 2\,\left( m \right).\]
Câu 2
A.\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)
B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 1}\\{m >2}\end{array}} \right.\)
C. 1 < m < 2
D. Không xác định được
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\]
Để đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x + m - 1\] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime >0}\\{S >0}\\{P >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - m + 1 >0}\\{2 >0}\\{m - 1 >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 2}\\{m >1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 3
A.\[y = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}x - 5\]
B. \[y = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}x + 5\]
C. \[y = 3{x^2} + 9x - 9\]
D. \[y = - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}x - 5\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[y = {x^2} - 6x + 3\]
B. \[y = - \frac{5}{9}{x^2} + \frac{{10}}{3}x + 3\]
C. \[y = 3{x^2} + 9x + 3\]
D. \[y = \frac{5}{9}{x^2} - \frac{{10}}{3}x + 3\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.m >0
B. m < 0
C. m = 0
D.Không xác định được
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. h = 8m.
B. h = 7m.
C. h = 9m.
D. h = 5m.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[y = - 5{x^2} + 8x + 2\]
B. \[y = 10{x^2} + 13x + 2\]
C. \[y = - 10{x^2} - 13x + 2\]
D. \[y = 9{x^2} + 6x - 5\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập