Câu hỏi:

21/05/2022 306

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = 3\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) - 8\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có :

\[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 2\frac{a}{b}.\frac{b}{a} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + 2 \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} - 2\]

Biến đổi biểu thức P về dạng

\[P = 3{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} - 6 - 8\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) = 3{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2} - 8\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) - 6\]

Đặt \[t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2}\]

Áp dụng bất đẳng thức \[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\,\,\forall x,y\] với hai số \[\frac{a}{b}\]  và \[\frac{b}{a}\] ta có :

\[{t^2} = {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2} \ge 4\frac{a}{b}.\frac{b}{a} = 4 \Leftrightarrow |t| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 2}\\{t \le - 2}\end{array}} \right.\]

Biểu thức P trở thành \[P = 3{t^2} - 8t - 6\]Trục đối xứng \[x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{4}{3}\] và hệ số \[a = 3 >0.\]

Suy ra hàm số \[f\left( t \right) = 3{t^2} - 8t - 6\]  nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;\frac{4}{3}} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\]BBT :

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ảnh 1)

Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 2

Ta có f(2 )= −10.

Vậy minP = minf(t) = −10.

Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Bước 1:

Gọi hai điểm chân cổng là \[A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\] và \[B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\] thì ta có \[{y_A} = {y_B}\] và \[\left| {{x_A}} \right| = \left| {{x_B}} \right|.\]

Vì d = 4 nên \[\left| {{x_A}} \right| = \left| {{x_B}} \right| = 2.\]

Bước 2: Tính h

Vậy \[h = \left| {{y_A}} \right| = \left| { - \frac{1}{2}x_A^2} \right| = \left| { - \frac{1}{2}{{.2}^2}} \right| = 2\,\left( m \right).\]

Câu 2

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\]

Để đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x + m - 1\] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime >0}\\{S >0}\\{P >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - m + 1 >0}\\{2 >0}\\{m - 1 >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 2}\\{m >1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP