Giới hạn \[\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}\] bằng?

A.\[\frac{5}{2}.\]

B. \[\frac{{ - 5}}{2}.\]

C. 1

D. -1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Giới hạn của dãy số !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1:

\[\begin{array}{l}lim\frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}\\ = lim\frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {2n - 1} \right)}}\\ = lim\frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {2n - 1} \right)}}\\ = lim\frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {2n - 1} \right)}}\\ = lim\frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{\left( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} } \right)\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} = - 1\end{array}\]

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

\[\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} - \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \lim \frac{{1 - 3}}{2} = - 1\]

Đáp án cần chọn là: D

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính giới hạn \[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\].

A.\[\frac{1}{5}\]

B. $\frac{1}{2}$

C. 0

D. \[\frac{{ - 3}}{2}\]

Lời giải

Bước 1:

\[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( { - 3 + \frac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}\]

Bước 2:

\[ = \lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{ - 3 + 0}}{{2 + 0 - 0}} = \frac{{ - 3}}{2}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

$Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục (ảnh 1)$

Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông \[{A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\] có diện tích \[{S_3}, \ldots \;\] Tính tổng \[{S_1} + {S_2} + \ldots \;\] bằng

A.\[\frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{100}}}}\]

B. \[2{a^2}\]

C. \[\frac{{{a^2}}}{{{2^{100}}}}\]

D. \[\frac{{{a^2}\left( {{2^{99}} - 1} \right)}}{{{2^{98}}}}\]

Lời giải

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta có:

\[\begin{array}{l}{{\rm{S}}_1} = {a^2}\\{{\rm{S}}_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \cdot \frac{1}{2}\\{{\rm{S}}_3} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \cdots \\{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = {a^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\end{array}\]

Có\[{S_1};{S_2};{S_3}; \ldots \] là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu:\[{S_1} = {a^2}\]

- Công bội:\[q = \frac{1}{2}\]

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Do đó:\[S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{a^2}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3