Câu hỏi:
23/05/2022 132Cho dãy số \[({u_n})\]xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\) Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Giới hạn của dãy số !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[{u_2} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\]
\[{u_3} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4} = \frac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\]
\[{u_4} = \frac{{\frac{5}{4} + 1}}{2} = \frac{9}{8} = \frac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\]
Chứng minh bằng quy nạp:\[{u_{n + 1}} = \frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,( * )\]
* Với\[n = 1:{u_2} = \frac{{{u_1} + 1}}{2} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\]: (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với\[n = k \ge 1\] tức là\[{u_k} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\] ta chứng minh (*) đúng với\[n = k + 1\]tức là cần chứng minh\[{u_{k + 1}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\]
Ta có :
\[{u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\]
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy \[({u_n})\]là:
\[{u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,( * )\]
Từ (*) ta có\[{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{{2^n}}} - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\]là dãy giảm và
\[\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \]là dãy giảm tới 1 khi\[n \to + \infty \]
Đáp án cần chọn là: A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính giới hạn \[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\].
Xem đáp án »
23/05/2022
1,908
Câu 2:
![Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1653298186/1653298389-image2.png)
Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông \[{A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\] có diện tích \[{S_3}, \ldots \;\] Tính tổng \[{S_1} + {S_2} + \ldots \;\] bằng
Xem đáp án »
23/05/2022
1,104
Câu 6:
Cho \[{u_n} = \frac{{1 - 4n}}{{5n}}\]. Khi đó \[lim\,{u_n}\]bằng?
Xem đáp án »
23/05/2022
583
Câu 7:
Giới hạn \[\lim \frac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}\] bằng?
Xem đáp án »
23/05/2022
459
về câu hỏi!