Câu hỏi:

23/05/2022 331

Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]xác định bởi  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}({u_n} + 1)({u_n} + 2)({u_n} + 3) + 1} }\end{array}} \right.\left( {n \ge 1} \right)\) Đặt \[{v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{u_i} + 2}}} \]. Tính \[lim\,{v_n}\]bằng?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

\[{u_2} = \sqrt {1.2.3.4 + 1} = 5,{u_n} >0,\forall n = 1;2;...\]

Ta có:

\[{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}({u_n} + 1)({u_n} + 2)({u_n} + 3) + 1} \]

\[ = \sqrt {(u_n^2 + 3{u_n})(u_n^2 + 3{u_n} + 2) + 1} \]

\[ = \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n})}^2} + 2(u_n^2 + 3{u_n}) + 1} \]

\[ = \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n} + 1)}^2}} = u_n^2 + 3{u_n} + 1\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = u_n^2 + 3{u_n} + 2 = ({u_n} + 1)({u_n} + 2)\\ \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{{({u_n} + 1)({u_n} + 2)}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_n} + 2}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 2}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}\\{v_n} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \frac{1}{{{u_i} + 2}} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left( {\frac{1}{{{u_i} + 1}} - \frac{1}{{{u_{i + 1}} + 1}}} \right)\end{array}\)

\[ = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\]

Xét hiệu\[{u_{n + 1}} - {u_n} = u_n^2 + 3{u_n} + 1 - {u_n} = {\left( {{u_n} + 1} \right)^2} >0\]

\[ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\]là dãy tăng.

Giả sử

\[\lim {u_{n + 1}} = \lim {u_n} = a >0 \Rightarrow a = {a^2} + 3a + 1 \Rightarrow {a^2} + 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow \lim {u_n} = + \infty \]\[ \Rightarrow \lim {v_n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.\]

Đáp án cần chọn là: C

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính giới hạn \[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\].

Lời giải

Bước 1:

\[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( { - 3 + \frac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}\]

Bước 2:

\[ = \lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{ - 3 + 0}}{{2 + 0 - 0}} = \frac{{ - 3}}{2}\]

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta có:

\[\begin{array}{l}{{\rm{S}}_1} = {a^2}\\{{\rm{S}}_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \cdot \frac{1}{2}\\{{\rm{S}}_3} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \cdots \\{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = {a^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\end{array}\]

Có\[{S_1};{S_2};{S_3}; \ldots \] là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu:\[{S_1} = {a^2}\]

- Công bội:\[q = \frac{1}{2}\]

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Do đó:\[S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{a^2}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho \[n \in {N^ * }\] nếu \[|q| < 1\;\]thì:

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho \[{u_n} = \frac{{1 - 4n}}{{5n}}\]. Khi đó \[lim\,{u_n}\]bằng?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho \[\lim {u_n} = L\]. Chọn mệnh đề đúng:

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay