Tìm m để hàm số \[y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\] có \[y\prime \le 0\forall x \in R\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1}\\{ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1}\\{y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R}\end{array}\]

TH1: \[m = 0,\] khi đó \[BPT \Leftrightarrow - 1 \le 0\] đúng\[\forall x \in R\]

TH2:

\[m \ne 0 \Leftrightarrow y\prime \le 0\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = m < 0}\\{\Delta \prime = {m^2} - m(3m - 1) \le 0}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{ - 2{m^2} + m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow m < 0\]

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có\[m \le 0\] là những giá trị cần tìm.